Probabilidad de que un número es divisible por 11

Question

Los dígitos $1, 2, \cdots, 9$ están escritos en orden aleatorio para formar un número de nueve dígitos. Entonces, la probabilidad de que el número es divisible por $11$ $\ldots$

Sé que la condición de divisibilidad por $11$ pero no podía adivinar cómo se aplican aquí.

Por favor me ayude en este sentido. Gracias.

Answer 1

Considere el uso de la alternancia de la suma de la división de la regla. Necesitamos tener la suma de $5$ dígitos - la suma de $4$ dígitos a la igualdad de un número divisible por $11$. Indicar la suma de $5$ dígitos por $O$ y la suma de los 4 dígitos como $E$.

Por lo tanto, queremos que $O - E = (45 - E) - E = 45 - 2E$ (suma de los dígitos del 1 al 9 es $45$) para ser divisible por $11$. Además, puesto que la $45 - 2E$ es impar, sabemos que no puede ser $22$. Así que tenemos $45 - 2E$ podría, posiblemente, la igualdad de $33,11,-11$ o $-33$. Nota: $33$ no es posible ya que $E \geq 1 + 2 + 3 + 4 > 6$, e $-33$ no es posible debido a $E \leq 6 + 7 + 8 + 9 < 39$.

Para $E$ a satisfacer $45 - 2E = - 11$, debemos tener la $E = 28$. Desde $6 + 7 + 8 + 9 = 30$, podemos ver rápidamente que las únicas posibilidades son $\{4,7,8,9\}$$\{5,6,8,9\}$.

Para $E$ a satisfacer $45 - 2E = 11$, debemos tener la $E = 17$. Queremos encontrar diferentes números enteros $a,b,c,d$ $1$ $9$ tal que $a + b + c + d = 17$. Esto se puede resolver con la combinatoria, aunque aquí podría ser más fácil enumerar. Para hacer esto más fácil, considerar las posibles combinaciones de $x,y,z,w$ problemas $x + (x + y) + (x + y + z) + (x + y + z + w) = 17$, donde $x = a$, $y = b - a$, $z = c - b$, $w = d - c$, y $x,y,z,w \geq 1$. Podemos normalizar cada variable (ej: $x' = x - 1$) para encontrar la ecuación de $x' + (x' + y') + (x' + y' + z') + (x' + y' + z' + w') = 7$ o $4x' + 3y' + 2z' + w' = 7$ donde $x',y',w',z' \geq 0$. No hay muchas combinaciones posibles, y la enumeración nos da $11$ diferentes combinaciones. Sin embargo, tenemos que mirar hacia fuera para los pocos casos en los que hay un número mayor de $9$; hay exactamente dos de estos casos, que es$\{1,2,4,10\}$$\{1,2,3,11\}$.

Ahora tenemos $2$ maneras de conseguir $45 - 2E = 28$, e $9$ maneras de conseguir $45 - 2E = 17$. Así tenemos un total de $11$ formas posibles para seleccionar el conjunto de $4$ dígitos. Sin embargo, debemos considerar permutaciones, por lo que se multiplican $11$ $5!$ $4!$ conseguir $31680$ permutaciones divisible por $11$. Dividiendo por el número total de permutaciones $9!$ nos da una probabilidad de aproximadamente el $.0873015873$

Answer 2

Un número es divisible por 11 si y sólo si la suma de los pares de dígitos de posición y la posición de los dígitos difieren en un múltiplo de 11. Ahora, la suma de los dígitos del 1 al 9 es impar, por lo que la diferencia en cualquier número debe ser 11 o 33. La única subconjuntos de a$\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, donde la diferencia entre el subconjunto y su complemento es $33$ seis o más elementos; esto es imposible, ya que hay 5 pares de dígitos de posición y de 4-dígitos de posición. Así que los dos conjuntos de dígitos que se diferencian por 11, y, a continuación, la suma más grande es $28$ y el menor es $17$.

Así que queremos colecciones de 4 o 5 números enteros de $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ cuya suma es $28$. Hay once tales (es bastante sencillo simplemente a enumerar estos a mano): \begin{align*} &\{4, 7, 8, 9\}, \{5, 6, 8, 9\}, \{1, 3, 7, 8, 9\}, \{1, 4, 6, 8, 9\}, \\ &\{1, 5, 6, 7, 9\}, \{2, 3, 6, 8, 9\}, \{2, 4, 5, 8, 9\}, \{2, 4, 6, 7, 9\}, \\ &\{2, 5, 6, 7, 8\}, \{3, 4, 5, 7, 9\}, \{3, 4, 6, 7, 8\}. \end{align*} Cada uno de estos rendimientos $24\cdot 120$ números posibles (organizar el 5 de conjunto de cualquier manera que usted desea, y el 4 de conjunto de cualquier manera que usted desea), para un total de $11\cdot 24\cdot 120 = 31680$ posibilidades. (Tenga en cuenta que esto corresponde aproximadamente a la estimación numérica de $0.08$ dado en los comentarios).

Answer 3

desde $10 = -1 \pmod {11}$, un número $abcdefghi$ es un múltiplo de a $11$ si y sólo si $(a+c+e+g+i)-(b+d+f+h)$ es un múltiplo de a $11$.

Desde $(a+c+e+g+i)+(b+d+f+h) = 45 = 1 \pmod {11}$, esto es equivalente a $1-2(b+d+f+h) = 0 \pmod {11}$, e $(b+d+f+h) = 6 \pmod {11}$.

Así que queremos saber, cuando es la suma de $4$ números tomadas al azar en $\{1 ; \ldots ; 9 \}$ es congruente a $6$ modulo $11$.

Claramente, si estábamos recogiendo nuestros cuatro números en $\{1 ; \ldots ; 11\}$ (o $\{0 ; \ldots ; 10 \}$), la suma se distribuye uniformemente mod $11$ (si añadimos $3$ a cada número, es como la adición de $1$ a la suma). Lo que significa que hay $\frac 1 {11}\binom {11}4 = 30$ buena cuatrillizos allí.

De todos los que estamos interesados solo en aquellas que no utilizan el $10$ ni $11$.

Vamos a contar cuántos uso $10$ :

Un cuatrillizos que el uso de $10$ y que las sumas a $6$ $10$ más de un triplete que sumas a $7$ y que no el uso de $10$.
Una vez más nos cuente el número total de trillizos que se suma a $7$, pero tenemos de nuevo extra trillizos, aquellos que contienen $10$.

Podemos continuar de esta manera, para quitar la extra trillizos tenemos que quitar pares que se suma a $8$, y, por último, eliminar de los pares, el par $\{10 ; 9 \}$.

Así, obtenemos $\frac 1 {11}(\binom {11}3 - \binom {11}2 + \binom {11}1) = 11$ cuatrillizos que se suma a $6$ y el uso de $10$, lo que significa que hay $\frac 1 {11}(\binom {11}4 - \binom {11}3 + \binom {11}2 - \binom {11}1) = 19$ cuatrillizos que se suma a $6$ y no utilice $10$.

Ahora, contamos con el cuatrillizos que el uso de $11$. La misma cosa sucede de la misma manera, incluso en el último paso (porque $4 \times 11 \neq 6 \neq 4 \times 10)$.

Había queríamos contar el número de cuatrillizos que no utilice $7$, entonces tendríamos una diferencia en el final (porque $7 \times 4 = 28 = 6$): ninguno de los pares que se suma a $3$ $7$ en el primer lugar, con lo que no podemos contar que la última $\frac 1{11}\binom {11}1$.
O dicho de otra manera, la suma de los cuatrillizos que no utilice $10$ es casi uniforme : golpea cada suma $19$ veces con la excepción de $4 \times 10 = 7$, que es golpeado $20$ (para un total de $210$, y $210$ cuatrillizos que no utilice $10$).

Finalmente queremos contar cómo muchos de los cuatrillizos suma a $6$ y el uso tanto de $10$$11$. Esos son el número de parejas que se suma a $7$ y no utilice $10$ ni $11$. Hay $5$ pares que se suma a $7$, uno de los cuales utiliza $10$ y uno de los cuales utiliza $11$ (ninguno de utilizar tanto por $10+11 \neq 7$)

Así que de un total de $3$ cuatrillizos que se suma a $6$ y el uso tanto de $10$$11$.

El número final es $30 - 11 - 11 + 3 = 11$ cuatrillizos que se suma a $6$ y no utilice $10$ o $11$.

Desde allí se $126$ cuatrillizos que no utilice $10$ o $11$, la probabilidad final es $\frac {11}{126}$

Answer 4

$$ \bbox[8px,border:1px groove armada]{\mbox{voy a publicar esta respuesta para cumplir con el OP y}\ \color{#66f}{\texttt{@Jens}}\ \mbox{petición}\ } $$

Cambia ligeramente entre varios 'ejecuta' permaneciendo cerca de $\color{#f00}{0.08\ldots}$.

$\texttt{javascript}$ código $\left(~\mbox{it runs in a terminal as}\quad \texttt{node div11.js}~\right)$:

// div11.js Felix Marin
"use strict";
var ITER = 362880*10; // número Total de iteraciones.
// Tenga en cuenta que 9! = 362880
var n = null;
/***************************************************************/
var randomDig19 = (function()
{
 var d = [1,2,3,4,5,6,7,8,9];
 var trastorno = function () { return Math.aleatorio() - 0.5; };

 retorno de la función ()
{
 el Número de devolución(d.orden(desorden).join(""));
};
})();
/***************************************************************/
var total = 0;

for ( n = 0 ; n < ITER ; ++n ) {
 si ((randomDig19() % 11) === 0) ++total;
}

la consola.log("Resultado" + total/ITER);

/*
http://math.stackexchange.com/questions/1967378/probability-that-a-number-is-divisible-by-11#1967378
*/

Resultado 0.0875449184303351

Cambia ligeramente entre varios 'ejecuta' permaneciendo cerca de $\color{#f00}{0.08\ldots}$.