¿Real-analítico periódico $f(z)$ que tiene más del 50% de los derivados positivos?

Question

Estoy buscando un real-analítica de la función $f(z)$ tal que para cualquier $z$

$1) $$f(z+p) =f(z)$

Con $p$ un número real distinto de cero y donde $z$ está cerca o sobre la línea real tal que $z$ está en el dominio de analiticidad.

$2)$ $f(z)= 0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + ...$ donde más de $50$ % del valor distinto de cero (signos de) $a_n$ son positivos.

Por lo tanto vamos a $f_n(z)$ ser truncado expansión de Taylor de $f(z)$ grado $n$. Deje $T(n)$ la cantidad de distinto de cero (los signos de los coeficientes del polinomio $f_n(z)$.

Deje $v(n)$ la cantidad de estricta positiva ($>0$) de los coeficientes de $f_n(z)$.

A continuación,$\lim_{n -> +\infty} v(n)/T(n) > 1/2$.

$3)$ $f(z)$ es no constante.

También prefiero $f(z)$ a ser completo si es posible.

Es una función de $f(z)$ posible ?

Relacionado con :

Real-analítico $f(z)=f(\sqrt z) + f(-\sqrt z)$?

Answer 1

Tal función es $f(z) = \cot(z-e^{2 \pi i/3}) + \cot(z-e^{-2 \pi i/3})$. Si había escrito en términos de funciones reales, es %#% $ #%

Prueba: Observe que $$\frac{2 \sin(1+2z)}{\cosh(\sqrt{3}) - \cos(1+2z)}.$ $ tiene no hay polos en el disco de radio $$g(z) := f(z) - \frac{1}{z-e^{2 \pi i/3}} - \frac{1}{z - e^{- 2 \pi i/3}}$. Por lo tanto, los coeficientes de Taylor de $\sqrt{(\pi-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} \approx 2.78$ decaimiento exponencial rápida. Mientras tanto, $$ \frac{1}{z-e^{2 \pi / 3}} + \frac{1}{z - e ^ {- 2 \pi i / 3}} = 1 + z-2z ^ 2 + z ^ 3 + z ^ 4-2z ^ 5 + z ^ 6 + z ^ z 7-2 ^ 8 + \cdots.$g(z)$f (z) $$

So the coefficients of $(1,1,-2,1,1,-2,\dots) $ are very close to $z ^ n $ and, in particular, have this sign pattern after possibly finitely many exceptions. In fact, the data suggests the convergence is quite rapid: Here are the coefficients of $ f (z) $ in $0 \leq n \leq 20$:

0.708823, 0.40783, -2.02933, 0.980937, 1.00110, -1.99877, 
1.000920, 1.00047, -1.99981, 1.000080, 1.00002, -1.99999, 
1., 1., -2., 1., 1., -2., 1., 1., -2.