¿$\mathrm{ZFC}^E$ Es abiertamente incompatible?

Question

De $\mathrm{ZFC},$ definir una nueva teoría de la $\mathrm{ZFC}^E$ colindando una constante símbolo $E$ junto con los axiomas para el efecto de que:

• $E$ es contable y transitiva
• $(E,\in)$ es un elementarily equivalente a $(V,\in).^*$ (Esto es un axioma esquema).

Pregunta. Es $\mathrm{ZFC}^E$ francamente incompatible?

Motivación. La idea (o motivación) es tener una "copia en miniatura" del universo, que, no obstante, es "muy pequeña" de nuestro omnisciente $V$-como perspectiva.

Answer 1

Este es Feferman la extensión de $\sf ZFC$, y se trata de un conservador extensión de $\sf ZFC$. Pero tenga en cuenta que usted no puede declarar que $E$ es una primaria de la subestructura del universo con un axioma, ya que violaría del teorema de Tarski. Usted puede, sin embargo, no es un axioma en un momento.

Para ver que la nueva teoría es un conservador de extensión, tenga en cuenta que sigue inmediatamente a partir de la reflexión teorema: todo lo verdadero en $V$, es cierto en una contables transitiva modelo (bueno, aquí podemos aplicar Lowenheim-Skolem y el colapso de Mostowski lema).

No podía encontrar una cita específica, pero encontré varias referencias de otras personas para el siguiente trabajo.

Feferman, Salomón. "Fundamentos Teóricos de la categoría de la teoría", Informes de la Midwest Categoría III Seminario, Notas de la Conferencia en Matemáticas Volumen 106, 1969, pp 201-247.

Answer 2

Como usted señala en los comentarios, si $E$ es una primaria de la subestructura de $V$, entonces la teoría es inconsistente. Si se tratara de una escuela primaria de la subestructura, tendríamos $\omega^E_1 = \omega_1$.

Si $E$ es meramente primaria equivalente, en el otro lado, entonces la teoría es consistente. Para ver esto, observe que para cualquier finito lista de oraciones $\phi_0,...,\phi_n$, ZFC demuestra la existencia de un contable modelo transitivo $M$ que es elemental equivalente a $V$ con respecto a las frases. Este puede ser establecido por la primera de tomar una contables de Skolem Casco con respecto a la subformulas de $\phi_0,...,\phi_n$ y, a continuación, hacer un colapso de Mostowski. Así que ZFC puede interpretar arbitrariamente grande finito fragmentos de su teoría, y por lo tanto es coherente.