Extensiones cuadráticas de $\mathbb Q$

Question

Esta es una pregunta de Lang ANT, Thm 6, ch.IV, $\S2$.

Se establece que cada cuadrática extensión de $\mathbb{Q}$ está contenida en un cyclotomic extensión y que es una consecuencia directa de la siguiente resultado:

Deje $\zeta_n$ ser una primitiva $n$-ésima raíz de la unidad, por $n$ impar y $$S=\sum_\nu\left(\frac{\nu}{n}\right)\zeta^\nu_n$$ the sum being taken over non-zero residue classes mod $n$. Then $$S^2=\left(\frac{-1}{n}\right)n$$

Aquí, supongo que los corchetes indican el símbolo de Jacobi a pesar de que Lang no queda claro.

De todos modos, suponiendo esto, entiendo que si la extensión cuadrática $K$ se parece a $\mathbb{Q}(\sqrt{n})$ n, donde n es positivo plaza libre entero impar, a continuación,$K\subset \mathbb{Q}(\zeta_n)$.

Pregunta: ¿cómo es el resultado nos ayudan a si $n$ es un negativo o un (plaza libre) entero? Qué necesitamos algunos otros resultados en cyclotomic extensiones?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

El símbolo $\left(\frac{\nu}{n}\right)$ es de hecho el símbolo de Jacobi. Tenga en cuenta que desde

$$S^2 = \left(\frac{-1}{n}\right)n,$$

podría darse el caso de que $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ contiene $\sqrt{-n}$ e no $\sqrt{n}$.

Pero, puesto que el $\mathbb{Q}(\zeta_{4n})$ contiene $\mathbb{Q}(\zeta_n)$$i$, el cyclotomic extensión de $\mathbb{Q}(\zeta_{4n})$ contiene $\sqrt{n}$$\sqrt{-n}$. Que también abarca el caso de negativa impar squarefree $n$, $\mathbb{Q}(\zeta_{4\lvert n\rvert})$ hace el truco.

Incluso para $n$, tenga en cuenta que $$\zeta_8 = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$$

y, por tanto, $\mathbb{Q}(\zeta_8)$ contiene $\sqrt{2} = \zeta_8 + \zeta_8^{-1}$. Entonces, para squarefree $n = 2m$, el cyclotomic extensión de $\mathbb{Q}(\zeta_{8\lvert m\rvert})$ contiene $\sqrt{n}$.