Es bien sabido que algunas de las declaraciones acerca de las sumas parciales de funciones multiplicativas son extremadamente difíciles. Por ejemplo, la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que $|\mu(1)+\mu(2)+\dots+\mu(n)|$ es acotada arriba por $n^{1/2+\epsilon}$ para todo $\epsilon > 0$. Sin embargo, quiero saber sobre la inferior límites de tales sumas parciales, válido para un número infinito de n. Por ejemplo, se sabe que la suma de la función de Möbius debe infinitamente a menudo estar en algún lugar cerca de $n^{1/2}$ en magnitud? Se puede, al menos, demostrar que son ilimitados? ¿Y qué acerca de la Liouville función $\lambda$? Son sus sumas parciales sin límites? Si es así, ¿alguien puede darme una buena referencia o una prueba rápida? Y ¿qué hay de general completamente multiplicativa funciones que toman valores de módulo 1? Se sabe algo de ellas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Usted probablemente sabe esto, pero: Conjunto $s(n) = \mu(1) + \cdots + \mu(n)$. Supongamos, por el bien de la contradicción, de que $s(n) = O(n^{1/2 - \epsilon})$. Entonces $$\sum s(n) \left( n^{-s} - (n+1)^{s} \right)$$ convergerían por $Re(s) > 1/2-\epsilon$. Esto daría una analítica de extensión de $1/\zeta(s) de dólares a la mitad de este plano, contradiciendo que $\zeta$ tiene ceros en la línea crítica.
Así sabemos que las sumas parciales de $\mu$ NO $O(n^{1/2 - \epsilon})$. No sé si esto puede ser empujado para demostrar que ellos no son $o(n^{1/2})$.
Aquí está una gran parte histórica de la observación:
Littlewood, mostró que no existe $x$, de modo que $\pi(x)$ es mayor que el registro integral $\mathrm{li}(x)$. De hecho, $\pi(x) - \mathrm{li}(x)$ es (más o menos) una combinación lineal de los factores de $x^{1/2+}$, donde $1/2+$ son ceros de $\zeta$. Formulario de la multiplicación de convolución con una adecuada función suave: puedes hacer la suma, sólo un número finito de ceros. Ahora encontrar (por Dirichlet) $x$ para que todos los números $i t \log(x)$ son cerca de múltiplos de $2 \pi$, etc.
Esto muestra que $\pi(x) - \mathrm{li}(x)$ es no acotada por $C \sqrt{x}$ para $C$; en el caso de Mobius, usted recibe unos $C$, pero no cualquier $C$, porque es más difícil entender los coeficientes de $x^{1/2+}$.
Por último, hay algunos resultados válidos para cualquier completamente multiplicativa función: Ver el artículo de A. Granville y K. Soundararajan titulado "el espectro de La multiplicación de funciones."
Este trabajo muestra que $L(n) > .061867\sqrt{n}$ para infinidad de $n$.
Como por algo elemental métodos (en el sentido de evitar la Riemann zeta función) para demostrar que $L(n)$ es "generalmente" de orden $\sqrt{n}$, se puede utilizar la serie de Lambert $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\lambda(n)q^n}{1-p^n}} = \sum_{n=1}^{\infty}{q^{n^2}}.$$
Como $$\frac{q^n}{1+q^n} = \frac{q^n}{1-p^n} - 2\frac{q^{2n}}{1-p^{2n}},$$ tenemos $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\lambda(n)}{q^{-n}+1}} = \sum_{n=1}^{\infty}{q^{n^2}} - 2\sum_{n=1}^{\infty}{q^{2n^2}}$$
o, equivalentemente, dejando $q = e^{-\pi/x}$ y $\psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty}{e^{-\pi xn^2}}$, donde $x$ es grande, $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\lambda(n)}{e^{n\pi/x}+1}} = \psi(1/x) - 2\psi(2/x)$$
Ahora $\psi(x)$ satisface la ecuación funcional $$\frac{1+2\psi(x)}{1+2\psi(1/x)} = \frac{1}{\sqrt{x}},$$
y así podemos reescribir esto como $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\lambda(n)}{e^{n\pi/x}+1}} = \frac{1-\sqrt{2}}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{2} + (\psi(x)-2\psi(x/2))\sqrt{x}.$$
Para grandes $x$, la mano izquierda "se parece a" $L(x)$, mientras que el lado derecho está dominado por el término $\frac{1-\sqrt{2}}{2}\sqrt{x}$. Esto también explica por qué $L(n)$ es predominantemente negativa, como $\frac{1-\sqrt{2}}{2}$ es negativo.
Esta referencia contiene el mejor resultado de este tipo que actualmente se conoce por $\mu(n)$:
Tadej Kotnik y Herman te Riele La Conjetura de Mertens revisited. Algoritmos de la teoría de números, 156--167, Notas de la Conferencia en Comput. Sci., 4076, Springer, Berlín, 2006.
Que demostrar que $\limsup_{x \rightarrow +\infty}M(x)/\sqrt{x} \geq 1.218$ y que $\liminf_{x \rightarrow +\infty}M(x)/\sqrt{x} \leq -1.229$. Aquí
$ M(x) = \sum_{n \leq x}\mu(n) $
es la notación convencional para la summatory función de la función de Möbius. Su prueba es una mezcla de la teoría analítica de números y a gran escala de los cálculos. También tienen una encuesta de lo que se sabe y lo que se conjetura sobre el tamaño de $M(x)$.
Ahora, en la Liouville función $\lambda(n)$ y su summatory función $L(x)$. El último está muy relacionado con $M(x)$, para
$ \sum_{n \leq \sqrt{x}}\mu(n)L\left(\frac{x}{n^2}\right) = \sum_{n \leq \sqrt{x}}\mu(n)\sum_{m \leq x/n^2}\lambda(m) = \sum_{N \leq x}\sum_{mn^2 = N}\mu(n)\lambda(m) = \sum_{N \leq x}\mu(N) = M(x). $
Así
$ |M(x)| \leq \sum_{n \leq \sqrt{x}}|L\left(\frac{x}{n^2}\right)| $
y para el supuesto de
$ L(x) = o\left(\frac{\sqrt{x}}{\log^{1 + \epsilon}(x)}\right) $
por ejemplo, conduce a una contradicción con la Kotnik-te Riele resultado (o resultados anteriores) para cualquier $\epsilon > 0$.
Mi conjetura es que si uno mira el antiguo (pre-equipo) resultados en $|M(x)|$ desde abajo, uno podría demostrar que $\limsup_{x \rightarrow +\infty}|L(x)|/\sqrt{x} > 0$. Esto puede ser incluso en la literatura, en algún lugar.
Alternativamente
$ \sum_{n = 1}^{\infty}\lambda(n)n^{s} = \prod_{p}\sum_{k=0}^{\infty}\lambda(p^k)p^{-k} = \prod_{p}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kp^{-k} = \prod_{p}(1 + p^{s})^{-1} = \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} $
por Euler fórmula del producto, y a partir de aquí es más elementales de lo que era con $M(x)$ en el argumento de que David Speyer dio, porque no tenemos los ceros en la línea crítica. Por $\zeta(2s)$ tiene un polo en $s = 1/2$, que no es cancelado por un polo de $\zeta(s) de dólares en el mismo punto. Mus $L(x) = O(x^{\alpha})$ es imposible con $\alpha < 1/2$ por parciales de la recapitulación.
Para multiplicativo funciones de módulo $1$, la situación es mucho menos clara. Por simplicidad, suponga que $f(n)$ es totalmente una función multiplicativa (multiplicativo y $f(p^k) = f(p)^k$) $|c_p| = 1$ donde $c_p = f(p)$. La función de Liouville es el caso $c_p \equiv -1$. Entonces
$ \sum_{n = 1}^{\infty}f(n)n^{s} = \prod_{p}\frac{1}{1 - c_pp^{s}}{\quad},{\quad} (x) = \sum_{n \leq x}f(n) $
por Euler fórmula del producto. El principio básico es que si $a(x) = O(x^{\alpha})$, entonces el de la serie de Dirichlet en el lado izquierdo es convergente en la mitad del plano $\sigma > \alpha$, por lo que la suma es holomorphic en que la mitad del plano. Si podemos encontrar una singularidad $s_0$ del producto en el lado derecho con $\mathrm{Re}(s_0) = \sigma_0$, que nos dice que $A(x) = O(x^{\alpha})$ $\alpha < \sigma_0$ es imposible. Lo malo ahora es que el producto puede divergir en un punto sin tener una singularidad, porque el producto puede divergir a cero, y un holomorphic función puede ser cero en un punto sin ser singular no.
Pero es fácil demostrar que si $\mathrm{Re}(c_p) \geq \delta > 0$ para todo $p$, entonces $A(x) = O(x^{\alpha})$ es imposible para cualquier $\alpha < 1$, mostrando que la serie $ \sum_{p}c_pp^{-\sigma} $ va al infinito como $\sigma \rightarrow 1^{+}$.
Esto podría no ser exactamente lo que usted tiene en mente, pero es una vieja resultado de Paley que para una infinita (pero muy pocos) conjunto de real de Dirichlet personajes de la desigualdad
$max_{N} |\sum_{n}^{N} \chi(n)| > c \sqrt{Q} \ln\ln(Q) $
sostiene, donde Q es el módulo del personaje. Montgomery y Vaughan han demostrado la inversa de la desigualdad (RH) para todos los caracteres de Dirichlet, es decir,
$max_{N} |\sum_{n}^{N} \chi(n)| < c \sqrt{Q} \ln\ln(Q)$.
Recientemente Paley del teorema fue mejorado por Granville y Soundararajan en su trabajo sobre la Pretencioso caracteres (entre otras cosas, que demuestren el límite inferior tiene para un mayor conjunto de caracteres).
referencias: R. E. A. C. Paley, Un teorema sobre los personajes, J. Londres Matemáticas. Soc 7 (1932), 28-32
H. L. Montgomery y de hormigón armado Vaughan, Exponencial sumas con coeficientes multiplicativos, de Inventar. Matemáticas 43 (1977), 69-82.
CARACTERES GRANDES SUMAS DE DINERO: PRETENCIOSO CARACTERES Y LA POLI-TEOREMA de VINOGRADOV: http://arxiv.org/abs/math.NT/0503113.
