Cuando la gente dice, por ejemplo, que el producto $X \times Y$ de dos objetos de $X, Y$ es único hasta un único isomorfismo, eso no quiere decir que $X \times Y$, como un objeto de la categoría, no tiene no trivial de automorfismos; es fácil encontrar ejemplos en los que esto es manifiestamente falso. Esto significa que si usted tiene dos objetos de $A, B$ que son los dos productos de $X$ $Y$ en el sentido de que vienen con distinguidos los mapas de proyección a $X$ $Y$ la satisfacción universal de los bienes, entonces existe un único isomorfismo $A \to B$ compatible con los mapas de proyección. La proyección de los mapas son parte de los datos que define un producto, y, en particular, es posible que el mismo objeto a ser un producto de la $A$ $B$ en dos formas diferentes (en el sentido de que la proyección de los mapas son diferentes: las diferentes maneras en que se relacionan por un automorphism del objeto.
Otra forma de decir esto es decir que un producto es un terminal de objeto en una cierta categoría de los conos, y como un objeto de esta categoría, se deduce que el producto no tiene no trivial de automorfismos porque, para cualquier terminal objeto de $1$, hay un único mapa $1 \to 1$, que debe ser la identidad.
