¿Significado de la siguiente matriz?

Question

No estoy familiarizado con la teoría avanzada de las matrices (ni soy matemático), así que tened paciencia.

¿Hay algo significativo en la siguiente estructura de la Matriz? ¿Existen simetrías especiales o cantidades conservadas que puedan extraerse de ella?

$$ \pmatrix{-u_2 & 0 & -\sqrt{2} u_1 & 0 \\ 0 & u_2 & 0 & -\sqrt{2} u_1 \\ \sqrt{2} u_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} u_1 & 0 & 0} $$

donde $u_1,u_2$ son reales y tienen un valor máximo de $1$ .

Editar:

Estaba leyendo algo sobre la correspondencia entre el grupo de matrices sin trazas y el grupo SU(2) (¿son isomorfos?). ¿Estoy en el camino correcto? ¿Algo sobre los bloques que destaque? También estuve leyendo sobre la conservación del "volumen" de las trazas, pero no estoy seguro de lo que significa.

Answer 1

Para completar algunos de los resultados obvios (que esperemos no contengan errores):

Tiene determinante $4(u_1)^4$ . Por lo tanto, va a ser nonsingular cuando $u_1>0$ . Incluso cuando $u_1=0$ mientras sea distinto de cero, todavía no es nilpotente.

Si $\lambda$ es un valor propio, entonces el resto son $\overline{\lambda}$ , $-\lambda$ y $-\overline{\lambda}$ .

Tiene rastros $0$ por lo que el álgebra de Lie la señala como una "transformación que preserva el volumen infinitesimal". (Este último punto requiere un poco de experiencia en el álgebra de Lie para entenderlo). Se puede reexpresar como $AB-BA$ para otras dos matrices $A$ y $B$ .

Esta matriz es siempre diagonalizable.

Es casi, pero no del todo, antisimétrico si $u_1>0$ . Es fácil ver que la parte simétrica está en la parte superior izquierda $2\times 2$ bloque, y la parte antisimétrica es todo lo demás.

Empecé con los valores singulares, pero confirmé en WolframAlpha que son complicados.

WolframAlpha también confirma que las decmoposiciones QR, LU y SVD son complicadas.

Answer 2

Se obtiene un álgebra de Lie si se ignoran los límites que se mencionan brevemente. Primero, define $$ L \; = \; \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right). $$ y $$ R \; = \; \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right). $$

A continuación, define un soporte de Lie para dos de tus matrices $V,W$ como $$ [V,W ] = L (V W - W V) R. $$ Esto da un álgebra de Lie, ya que se cumplen las distintas propiedades de cierre (suma, multiplicación por un escalar), así como la anticomutatividad y la identidad de Jacobi $$ [[U,V],W] + [[V,W],U] + [[W,U],V] = 0. $$