Curvatura de los círculos geodésicos en una superficie con curvatura constante

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente ejercicio:

Demostrar que en una superficie de curvatura constante las circunferencias geodésicas tienen curvatura constante.

Por "curvatura constante" en el caso de la superficie entiendo la curvatura gaussiana. Ahora bien, la curvatura geodésica de una curva parametrizada por la longitud de arco en coordenadas ortogonales viene dada por

$$k_g(s) = \frac{1}{2 \sqrt{EG}} \left(G_u v'- E_v u' \right)+ \phi',$$

donde $\cdot'$ denota la derivada con respecto a $s$ y $\phi$ es el ángulo que forma la tangente de la curva con $x_u$ .

Utilizando las coordenadas polares geodésicas (fijando $u = \rho$ y $v = \theta$ ), una superficie con curvatura gaussiana constante $K$ satisface

$$(\sqrt{G}_{\rho\rho}) + K \sqrt{G} = 0$$

Además, obtenemos $E=1$ , $F=0$ y un círculo geodésico tiene la ecuación $\rho = \mathrm{const.}$ Por lo tanto, la primera ecuación anterior da como resultado

$$ k_g(s) = \frac{G_\rho \theta'}{2\sqrt{G}} $$

Parece demostrar que $k_g$ es constante, habría que demostrar que su derivada es 0. Lo he intentado, pero la derivada se pone bastante fea y no veo cómo proceder.

Answer 1

Considera los tres casos K=0, K>0 y K<0 en tu segunda ecuación. En cada caso, puedes utilizar la teoría de las EDO (y los valores de E, F y los límites de G) para resolver G, que en todos los casos es independiente de theta. Introduce los coeficientes de la primera forma fundamental en tu primera ecuación para la curvatura geodésica.

Answer 2

Si tienes el libro de texto, Geometría Diferencial de Curvas y Superficies, hazlo CARMO,

Entonces vea la p.289, la parte del Teorema de Minding. Usted obtendrá $E=1,F=0,G=constant,G_ρ=constant$ en círculos geodésicos. (es decir, ρ=constante)

Y ver p.254, la parte del Teorema de Liouville, curvatura de la curva ρ=constante, $k_{g2}=\large\frac {G_ρ}{2G\sqrt{E}}$ . Así que k es constante.

Answer 3

Si estás dispuesto a permitir algunos teoremas de geometría riemanniana de gran potencia, la clasificación de las superficies de curvatura constante te dice que tu superficie es isométrica a una esfera, al plano euclidiano o al plano hiperbólico. A continuación, se puede comprobar mediante cálculos que todos los círculos geodésicos son de curvatura constante.