La paradoja del prisionero

Question

Me dan un ejercicio y no consigo entenderlo.

La paradoja del prisionero

Tres presos en régimen de aislamiento, A, B y C, han sido condenados a muerte el mismo día pero, como hay una fiesta nacional, el gobernador decide que a uno de ellos se le indulto. Los presos son informados de ello, pero se les dice que que no sabrán cuál de ellos va a ser indultado hasta el día previsto para las ejecuciones.

El prisionero A le dice al carcelero "Ya sé que al menos uno de los otros dos prisioneros será ejecutado, así que si me dices el nombre de uno que será ejecutado, no me habrás dado ninguna información sobre mi propia ejecución".

El carcelero lo acepta y le dice que C morirá definitivamente.

A entonces razona "Antes de saber que C iba a ser ejecutado tenía una probabilidad de 1 en 3 posibilidad de recibir un indulto. Ahora sé que B o yo mismo seremos las probabilidades han mejorado a 1 entre 2".

Pero el carcelero señala "Podrías haber llegado a una conclusión similar si hubiera dicho que B morirá, y yo estaba obligado a responder o B o C, así que ¿Por qué tenías que preguntar?".

¿Qué posibilidades tiene A de recibir un indulto y por qué? Construya una explicación que convenza a los demás de que tienes razón.

Podrías abordar esto mediante el teorema de Bayes, dibujando una red de creencias o mediante el sentido común. Cualquiera que sea el enfoque que elijas debería profundizar en tu comprensión del concepto engañosamente sencillo de la condicional.

Este es mi análisis:

Esto parece el El problema de Monty Hall pero no del todo. Si A dice I change my place with B después de que se le diga que C va a morir, tiene 2/3 oportunidades de salvarse. Si no lo hace, entonces diría que sus posibilidades de vivir son 1/3, como cuando no cambias tu elección en el problema de Monty Hall. Pero al mismo tiempo, está en un grupo de 2 personas, y una debería morir, así que es tentador decir que sus posibilidades son 1/2.

Así que la paradoja sigue aquí, ¿cómo enfocarías esto? Además, no tengo ni idea de cómo podría hacer una red de creencias sobre esto, así que estoy interesado en ver eso.

Answer 1

Creo que le das demasiadas vueltas al problema: es un problema de Monty Hall y se aplica la misma lógica.

Answer 2

Inicialmente hay tres posibilidades con igual probabilidad:

• A se liberará (prob $1/3$ )
• B se liberará (prob $1/3$ )
• C se liberará (prob $1/3$ )

Con la promesa del mensaje, hay cuatro posibilidades con diferentes probabilidades:

• A será liberado y a A se le dice que B será ejecutado (prob $1/6$ )
• A será liberado y a A se le dice que C será ejecutado (prob $1/6$ )
• B será liberado y a A se le dice que C será ejecutado (prob $1/3$ )
• C será liberado y a A se le dice que B será ejecutado (prob $1/3$ )

Con la condición de que "A se ejecute C", esto se convierte en

• A será liberado y a A se le dice que C será ejecutado (prob $1/3$ )
• B será liberado y a A se le dice que C será ejecutado (prob $2/3$ )

Así que después del mensaje A querría intercambiar con B (el problema de Monty Hall) pero no puede y se queda con el original $2/3$ probabilidad de ser ejecutado.

Answer 3

No estoy muy seguro de estar de acuerdo con @babelproofreader en que esto es un problema de Monty Hall y se aplica la misma lógica. En el problema de Monty Hall, bajas y seleccionas una puerta. Las reglas son que Monty sabe dónde está el premio, nunca nunca abrirá una puerta que oculte el premio, y siempre abrirá una de las puertas no elegidas (es decir, si has elegido una puerta sin premio, no abrirá la puerta que has elegido y te dirá: "¡Lo siento, has perdido!" y te enviará de vuelta a tu asiento), y siempre siempre ofrecerá la opción de cambiar a la otra puerta (no elegida) (es decir, no no ofrecerá la opción sólo cuando haya elegido la puerta con el premio). En estas circunstancias, si $A$ denota el caso de que su elección inicial sea la la puerta con el premio, entonces $P(A) = \frac{1}{3}$ . Si $B$ es el caso de que su elección final sea la puerta con el premio, entonces

• si su estrategia es no te muevas de tu sitio entonces $P(B \mid A) = 1$ (ya que usted tomó la decisión correcta al principio y se mantiene en ella) y $P(B \mid A^c) = 0$ (porque has tomado una decisión equivocada al principio y se aferra a ella). Así que por la ley de la probabilidad total, $$P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 1 \times \frac{1}{3} + 0\times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$
• si su estrategia es cambiar siempre entonces $P(B \mid A) = 0$ (ya que usted hizo la elección correcta al principio y luego cambió) y $P(B \mid A^c) = 1$ (porque te equivocaste en la elección al principio y por eso la puerta restante (no elegida, sin abrir) tiene garantizado el premio). Así que por la ley de la probabilidad total, $$P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c) = 0 \times \frac{1}{3} + 1\times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$

Aquí La situación es diferente. Hay no cambiar de lugar con $B$ como en "Si A dice que cambio mi lugar con B después de que le digan que C va a morir, tiene 2/3 oportunidades de salvarse".

Comentarios añadidos: Otra diferencia es que A no tiene información sobre si el carcelero sabe quién va a ser indultado o si el carcelero está diciendo dice la verdad cuando dice que C será ejecutado. Por otro lado, el carcelero tiene toda la razón cuando señala que el hecho de decirle a A que C será ejecutado La analogía más cercana al problema de Monty Hall problema de Monty Hall es que después de que A haya elegido una puerta, Monty abre una puerta no elegida para para revelar una cabra y le dice a A "Abre tu puerta y veamos qué usted tiene", es decir, ninguna oferta de cambio. Así que la posibilidad de que A gane el premio (Monty Hall) o de ser indultado (problema del preso) son las mismas: $1$ de $3$ independientemente de si Monty abre una puerta no elegida para revelar una cabra o no, o que el carcelero le diga a A que C va a ser ejecutado, o no, exactamente como Henry calculó en detalle.

Answer 4

La respuesta depende de cómo el carcelero elige a qué preso nombrar cuando sabe que A va a ser indultado. Consideremos dos reglas:

1) El carcelero elige entre B y C al azar, y casualmente dijo C en este caso. Entonces la probabilidad de que A sea indultado es de 1/3.

2) El carcelero siempre dice C. Entonces la posibilidad de que A sea indultado es 1/2.

Lo único que se nos dice es que el carcelero dijo C, así que no sabemos cuál de estas reglas siguió. De hecho, podría haber otras reglas: quizás el carcelero tira un dado y sólo dice C si saca un 6.

Answer 5

Imagina que el carcelero le dice a A que C morirá definitivamente. Y luego le dice a B que C morirá definitivamente. En este caso está claro que A y B tienen un 50% cada uno para ser indultados. Pero, ¿cuál es la diferencia entre las dos versiones?