(Hola, esta es mi primera pregunta en el MSE, por favor, hágamelo saber si estoy haciendo algo mal. ¡Gracias!)
El programa de instalación:
Deje $p:\mathbb{R}\to S^1$ ser definido por $x\mapsto (\cos(x),\sin(x))$. Demostrar que $p$ es abierto, es decir, $p$ envía abrir los subconjuntos de a $\mathbb{R}$ a abrir los subconjuntos de a $S^1=\{ (\cos(x),\sin(x))\in \mathbb{R}^2 \ \vert \ x\in \mathbb{R}\}$.
Lo que tengo hasta ahora:
Ya que la imagen de los mapas conserva sindicatos, basta con comprobar básica abrir los subconjuntos de a $\mathbb{R}$, es decir, abrir los intervalos. Si un intervalo de longitud de no menos de $2\pi$, entonces su imagen en $p$ es el círculo, que está abierto.
Por otro lado, si el intervalo de longitud de menos de $2\pi$, entonces su imagen es un "arco" en la $S^1$, que puede ser realizado como una intersección de $S^1$ adecuadamente con un escogido abrir el cuadro de $\mathbb{R}^2$, como se ilustra a continuación.
Mi pregunta:
Cómo formalizar esta última bits, así como para evitar argumentando a partir de una figura? Mi actual intentos de construir el cuadro deseado, precisamente, se han basado en la comprobación de casos. Hay una forma más elegante?
