Taylor ' resultados de s en ceros de la combinación lineal de funciones Zeta de Riemann Gamma-terminado

Question

Deje $s,z$ dos variables complejas, $\zeta(s)$ ser la de Riemann $\zeta$-función. Vamos

\begin{equation} \zeta_1(s)=\pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s), \end{equation}

ser la Gamma-completado de Riemann zeta función, y vamos a

\begin{equation} f(s)=\zeta_1(s+1/2)-\zeta_1(s-1/2) \end{equation}

Satisface la relación funcional $f(s)=-f(1-s)$

Vamos \begin{equation} F(z)=f(iz+1/2) \end{equation}

Taylor demostró en 1945 (En la Riemann Zeta función) que todos los ceros de $F(z)$ son reales.

Que trazan $Re(F(x+I y))=0$ $Im(F(x+I y))=0$ en Mathematica 9.0.

Descubrimos que en $x=0,y=\pm 6.8246$, $F(x+I y)=0$. Por lo tanto $F(z)$ parecía no real ceros.

Alguien ha notificación de este problema?

EDITAR: Aquí está una foto de Taylor fórmulas.

Aquí es un poco más

Answer 1

El papel simplemente dice que todos los no-real ceros de $F(s)$ mentira en la línea $\sigma = 1/2.$ Las últimas imágenes publicadas por OP parecen demostrarlo. Hay no-real ceros en $\sigma = 1/2$ y dos ceros situados simétricamente sobre esa línea en $t = 0.$ Estos últimos han componente imaginario $t = 0$, por lo que la afirmación de que el teorema de no ocuparse de ellos.

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Me fui hacia atrás y miró al este de nuevo, no para vencer a un caballo muerto, pero ya que estoy interesado en el tipo de trompe l'oeil que ocurrió aquí.

El razonamiento detrás de la pregunta sobre el papel de la reclamación:

Vamos a σ+=s=1/2+iz=1/2+ix−y. Aquí σ, t, x, y ∈ R. por Lo tanto σ = 1/2 − y, t = x. Todos los ceros de f(s) se encuentran en la σ = 1/2 son equivalentes a todos los ceros de f(s) se encuentran en y = 0. Por lo tanto todos los ceros de F(z) = F(x+iy) son reales. –

Es una atractiva idea y parece simplificar las cosas pero mis estados de la reivindicación del papel, que es que "todo el complejo de los ceros de F(s)...mentira en la línea $\sigma = 1/2.$"

Esto tomó un tiempo para ver porque uno automáticamente se centra en los detalles de la transformación: es la afirmación de la equivalencia correcta? Bueno, es. La transformación se da una válida nueva imagen de la misma información, pero luego nos malinterpretan la aparición de complejos ceros.

La transformación se lleva a la original de los puntos (x,y) de $G(s)$ y asigna nuevas coordenadas $(\hat{x},\hat{y}):$

$\hat{x} = y;$

$\hat{y}=1/2 - x;$

Por eso, cuando dos ceros complejos se encuentran en el nuevo sistema en el $(0,\pm 6.82)$ estos corresponden a los puntos en el sistema original en sobre $(7.32,0),(6.52,0)$ como una comprobación rápida de la gráfica confirma. La secuencia de ceros complejos en la línea $x = 1/2$ en el sistema original se asignan a una secuencia de real ceros $(x_i,0)$ en el nuevo sistema.

Las imágenes publicadas por @mike confirmar esto.

Answer 2

Aquí está un gráfico 3D de daniel función del $F(s)=F(\sigma+i t)=F(1/2+x+i y)$. Los puntos que se salga de la figura son los ceros porque estoy tramando $-\log|F(s)|$ vs $s$.

A mí me parece que estos dos ceros que no están en el $\sigma=1/2$ línea son las únicas excepciones. Ver dos figuras a continuación.