Una desigualdad integral de función continua

Question

Dejemos que $m$ sea un número entero positivo. $f\colon[0,\infty)\to[0,\infty)$ es una función continua tal que $f(f(x))=x^m,\forall x\in[0,\infty)$ . Demostrar que

$$\int_0^1f^2(x)\,dx\ge\frac{2m-1}{m^2+6m-3}$$

Answer 1

lema1:

$$f(f(x))=x^a,a\in N^{+}$$ entonces $f(x)$ está aumentando

poof: de lo contrario asumimos que hay exsit $u\neq v$ ,tal $f(u)=f(v)$ entonces $$u^a=f(f(u))=f(f(v))=v^a\Longrightarrow u=v$$ contradicción.

lema 2:

$$f(f(x))=x^a,a\in N^{+}$$ entonces $$f(0)=0$$

puf: deja $f(0)=b$ entonces $f(f(0))=0\Longrightarrow f(b)=0$

y como

$$f(f(b))=b^m\Longrightarrow b=b^a\Longrightarrow b=0 or b=1$$ si $f(0)=1$ y $f(f(x))=x^m\Longrightarrow f(1)=1$ y $f(x)$ está aumentando

contradicción. ya que $$f(f(x))=x^a\Longrightarrow f(x)=f^{-1}(x^a)$$ así que $$\int_{0}^{1}x^{a-1}f(x)dx=\int_{0}^{1}x^{a-1}f^{-1}{x^a}dx=\dfrac{1}{a}\int_{0}^{1} t^{\frac{a-1}{a}}f^{-1}(t)t^{\frac{1}{a}-1}dt=\dfrac{1}{a}\int_{0}^{1}f^{-1}(x)dx$$ así que $$\int_{0}^{1}f^{-1}(x)dx=\int_{0}^{1}ax^{a-1}f(x)dx$$ desde $f(x)$ está aumentando y $f(0)=0$ así que mediante el uso de la desigualdad de Young

http://en.wikipedia.org/wiki/Young 's_inequality

tenemos $$\int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{0}^{1}f^{-1}(x)dx\ge 1\Longrightarrow \int_{0}^{1}f(x)dx+\int_{0}^{1}ax^{a-1}f(x)dx\ge 1$$ y utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos \begin{align*} 1&\le\int_{0}^{1}f(x)(1+ax^{a-1})dx\le\left(\int_{0}^{1}f^2(x)dx\int_{0}^{1}(1+ax^{a-1})^2dx\right)^{\frac{1}{2}}\\ &=\left(\int_{0}^{1}f^2(x)dx\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_{0}^{1}(1+2ax^{a-1}+a^2x^{2a-2})dx\right)^{\frac{1}{2}}\\ &=\left(\int_{0}^{1}f^2(x)dx\right)^{\frac{1}{2}}\left(1+2+\dfrac{a^2}{2a-1}\right)^{\frac{1}{2}}= =\left(\int_{0}^{1}f^2(x)dx\right)^{\frac{1}{2}}\left(\dfrac{a^2+6a-3}{2a-1}\right)^{\frac{1}{2}} \end{align*} así que $$\int_{0}^{1}f^2(x)dx\ge\dfrac{2a-1}{a^2+6a-3}$$