Prueba elemental de $\mathbb{Q}(\zeta_n)\cap \mathbb{Q}(\zeta_m)=\mathbb{Q}$ cuando $\gcd(n,m)=1$ .

Question

En una respuesta a otra pregunta Utilicé el hecho de que $\mathbb{Q}(\zeta_m)\subseteq \mathbb{Q}(\zeta_n)$ si y sólo si $m$ divide $n$ (aquí $\zeta_n$ representa una primitiva $n$ raíz de la unidad, Editar: y tampoco $m$ ni $n$ es el doble de un número impar; véanse los comentarios de KCd más abajo).

De forma más general, se puede demostrar que $\mathbb{Q}(\zeta_n)\cap \mathbb{Q}(\zeta_m)=\mathbb{Q}$ cuando $\gcd(n,m)=1$ . La única prueba de este hecho que me viene a la mente utiliza hechos sobre discriminantes de extensiones ciclotómicas, y el hecho de que toda extensión de campo numérico no trivial sobre $\mathbb{Q}$ ramifica al menos en un primo (véase, por ejemplo, Washington, "Introduction to Cyclotomic Fields", Capítulo 2, Proposición 2.4).

Como la pregunta original que intentaba responder era algo elemental, me quedé pensando si hay pruebas más elementales del hecho $$\mathbb{Q}(\zeta_n)\cap \mathbb{Q}(\zeta_m)=\mathbb{Q}, \text{ when } \gcd(n,m)=1. $$ Por "prueba elemental" me refiero a alguna prueba que no implique resultados de teoría algebraica de números sobre discriminantes, o ramificación de primos en anillos de enteros de campos numéricos.

¿A alguien se le ocurre una prueba elemental?

Gracias.

Answer 1

$\newcommand{\Q}{\mathbf Q}$ Esta respuesta supone que estamos dispuestos a utilizar $[\Q(\zeta_n) : \Q] = \varphi(n)$ que no es evidente. Una referencia de libre acceso es Notas de Milne , Lemma 5.9 y Teorema 5.10.

Desde $n$ y $m$ son coprimos, la prueba que dio muestra que $\mathbf Q(\zeta_{nm}) = \mathbf Q(\zeta_n, \zeta_m)$ y el función totiente satisface $\varphi(nm) = \varphi(n)\varphi(m)$ . Ahora \[ [\mathbf Q(\zeta_{nm}) : \mathbf Q] = [\mathbf Q(\zeta_n, \zeta_m) : \mathbf Q(\zeta_n)][\mathbf Q(\zeta_n) : \mathbf Q] \] Si tuviéramos $\mathbf Q(\zeta_n) \cap \mathbf Q(\zeta_m) \neq \mathbf Q$ entonces el grado de $\zeta_m$ en $\mathbf Q(\zeta_n)$ sería menor que $\varphi(m)$ .

Answer 2

Esto es un complemento a la respuesta de Dylan: demostramos que $\mathbb{Q}(\zeta_{mn})=\mathbb{Q}(\zeta_m,\zeta_n)$ .

Tenemos $(\zeta_m)^{mn}=1^n=1$ y $(\zeta_n)^{nm}=1^m=1$ , por lo que la inclusión $\mathbb{Q}(\zeta_{mn})\supseteq\mathbb{Q}(\zeta_m,\zeta_n)$ está claro. A la inversa, $\zeta_{mn}^m$ es una primitiva $n$ -raíz de la unidad, y $\zeta_{mn}^n$ es una primitiva $m$ -raíz de la unidad, lo que da la inclusión inversa.

Creo que esto es lo más elemental que se puede hacer.