Wikipedia menciona la limitación de los teoremas de Gödel. Según él, geometría euclidiana no satisface las hipótesis de los teoremas de incompletitud de Gödel, es decir, no puede definir los números naturales. ¿Por qué es? ¿No es el número de puntos, líneas o polígonos número natural? Pensé que sería fácil definir los números naturales en geometría euclidiana.
Respuestas
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No, los números naturales, no puede ser definida en la geometría Euclidiana.
¿En qué sentido es el número de puntos, líneas, o polígonos de un número natural?
En la geometría Euclidiana hay infinitamente muchos objetos.
Tarski demostró que la geometría Euclidiana (o más bien, su axiomatization de la geometría Euclidiana) es decidable, mientras que Goedel demostró que no es razonable la teoría de números naturales es decidable. Esto solo demuestra que los números naturales no puede ser definida en términos geométricos.
Podría ayudar a decir algo más acerca de lo que definability significa en esta situación.
La geometría euclidiana es, en cierto sentido preciso sólo la teoría de la real de campos cerrados,
es decir, la teoría de los números reales (como una orden de campo).
Y por la teoría me refiero al conjunto de todos los de primer orden de las declaraciones en el lenguaje de la ordenó campos que son verdaderas en $\mathbb R$.
Ahora, se podría pensar que los números naturales se pueden definir en $\mathbb R$ diciendo que los números naturales son todos los números que se pueden obtener de forma iterativa por la adición de 1. O se puede decir que los números naturales son el más pequeño subconjunto de $\mathbb R$ que contiene $1$ y es cerrado bajo la suma.
El problema con estos dos "definiciones" es que ninguno de ellos se puede expresar en primer orden de la lógica, donde sólo se puede cuantificar por los elementos de la estructura (en este caso $\mathbb R$) y no a través de subconjuntos.
Espero que esto te aclare un poco las cosas.
Matthew Scouten
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Teoremas de Gödel se aplican a los sistemas formales. Geometría euclidiana en sí mismo no es un sistema formal. Así que tienes que mirar a formalizaciones particular de la geometría euclidiana. Supongo que habrá muchos de ellos. Algunos serán lo suficientemente fuertes como para que apliquen los teoremas de Gödel. Pero al parecer otros no.
BP.
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236
Tener un teorema de Gödel ser comprobable de un sistema el sistema debe tener la suficiente estructura para ser capaces de describir una declaración que se refiere a sí mismo como un improbable (Gödel) declaración.
La aritmética con la multiplicación, la suma y de la lógica de primer orden es lo suficientemente rica; la aritmética de Presburger (no hay multiplicación, pero la multiplicación puede ser simulado por adiciones) y la Geometría Euclidiana no es lo suficientemente rica.
A grandes rasgos, los dos teoremas de Gödel son: (1) lo Suficientemente rica y coherente de los sistemas no puede ser completa, y (2) La consistencia de tales sistemas no puede ser probada dentro del sistema.
Curiosamente, si la declaración de Gödel eran falsas podría ser demostrado y así debe ser verdadera; por lo tanto, desde la declaración dice que es improbable que debe ser improbable; y añadiendo como un teorema consigue alrededor de los teoremas porque luego otro Gödel declaración se puede encontrar.
