En visualizar el % de espacios $\Bbb{S}_{++}^n$y $\Bbb{R}^n\times\Bbb{S}_{++}^n$ $n=1,2,\ldots$

Question

Deje $\Bbb{S}_{++}^n$ denotar el espacio de simétrica positiva definida $n\times n$ real de las matrices. Estoy buscando sugerencias sobre la visualización de estos espacios para $n=1,2,\ldots$. Sé que $\Bbb{S}_{++}^n$ es un cono convexo, pero no estoy seguro de cómo lo hace "parecer". ¿Cómo puedo calcular la ecuación del cono analíticamente? Mi idea es definir $\Sigma\in\Bbb{S}_{++}^2$, como $$ \Sigma=\pmatrix{\sigma_{11} &\sigma_{12} \\ \sigma_{12} &\sigma_{22}}, $$ y la demanda de $\lvert\Sigma\rvert>0\implies\sigma_{11}\sigma_{22}-\sigma_{12}^2>0$, pero luego ¿qué?

Además, consideramos que el espacio de $\Bbb{R}^n\times\Bbb{S}_{++}^n$, ¿cuál sería para $n\geq2$? Para $n=1$, $\Bbb{R}\times\Bbb{S}_{++}$ debe ser la mitad de espacio -$\{(x,\sigma)\in\Bbb{R}^2\colon\sigma>0\}$.

Algún consejo sobre cómo puedo visualizar espacios como la anterior sería muy apreciada! La visualización de los métodos no necesitan ser estrictamente rigor, cualquier solución intuitiva, se agradecería demasiado. Gracias de antemano!

EDITAR

Permítanme agregar otra pregunta en relación con mi original. Deje $f\colon\Bbb{R}^n\times\Bbb{S}_{++}^n\to\Bbb{R}$ dada por $$ f(\mathbf{x},\Sigma) = \sum_{i=1}^{l} \alpha_i \exp \Bigg( - (\mathbf{x}-\mathbf{x}_i)^\top\Bigg(\frac{\Sigma+\Sigma_i}{2}\Bigg)^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{x}_i) - \ln \Bigg( \frac{\rvert\frac{\Sigma+\Sigma_i}{2}\lvert}{\sqrt{\rvert\Sigma\lvert\rvert\Sigma_i\lvert}} \Bigg) \Bigg) , $$ donde $\alpha_i\in\Bbb{R}$, $\mathbf{x}_i\in\Bbb{R}^n$ y $\Sigma_i\in\Bbb{S}_{++}^n$ es la media del vector y la matriz de covarianza, respectivamente, de la $i$-th distribución de Gauss a partir de un conjunto de $l$ distribuciones $\{\mathcal{N}(\mathbf{x}_i,\Sigma_i)\}_{i=1}^{l}$.

Estoy interesado en la visualización de $f(\mathbf{x},\Sigma)=0$. Sé que el espacio de $\Bbb{R}^n\times\Bbb{S}_{++}^n$ ha dimensionalidad igual a $n+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2+3n}{2}$. Estoy particularmente interesado en la visualización de $f(\mathbf{x},\Sigma)=0$ en el caso de $n=2$. Es eso posible?

Otra EDICIÓN

Con respecto a mi segunda pregunta (la primera "EDICIÓN" más arriba), esto es lo que he venido para arriba con. Estoy pensando en el dibujo de la $2$D de la curva que surge cuando se establece $\Sigma$ a la matriz cero de orden $2$. Entonces, supongo que tengo la proyección del espacio original ($\Bbb{R}^n\times\Bbb{S}_{++}^n$) en el espacio Euclidiano ( $\Bbb{R}^n$ )$n=2$. Es esto correcto? ¿Cómo podría denotar que? Por ejemplo, podría yo decir que me va a dar la visualización de $f(\mathbf{x},\Sigma)=0$ en el espacio de $\Bbb{R}^n\times\{\mathbf{0}\}$ donde $\mathbf{0}$ denota la matriz cero de orden $n$?

Answer 1

El espacio de todos los simétrica positiva definida $2\times 2$ matrices se compone de todas las matrices de la forma $$ \begin{bmatrix}x & z \\ z & y\end{bmatrix} $$ la satisfacción de las desigualdades $$ xy - z^2 > 0 \qquad\text{y}\qquad x>0. $$ Esto proviene del hecho de que una matriz a es positiva definida si y sólo si su líder principal de los menores de edad son todas positivas.

Geométricamente, este es el abierto de cono en $\mathbb{R}^3$ obtenido por la rotación de la primer cuadrante $x>0$, $y>0$ en el $xy$-plano alrededor de la línea de $y=x$. El vértice del cono es el origen $(0,0,0)$, y el eje es la línea de $y=x$ $xy$- plano. Una forma de ver esto es para nota de que la primera desigualdad anterior puede ser escrita $$ \left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)^2 + z^2 < \left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 $$ donde $(x-y)/\sqrt{2}$, $(x+y)/\sqrt{2}$, y $z$ son ortonormales sistema de coordenadas en $\mathbb{R}^3$.

La intersección de este cono con el $xy$-plane es abrir el primer cuadrante. Esto representa las matrices para que $z=0$, es decir, la diagonal de las matrices con un resultado positivo de las entradas. Tenga en cuenta que los subespacios propios de dicha matriz son precisamente las $x_1$ $x_2$ ejes en el $x_1x_2$-plano. Conceptualmente, la rotación de este cuadrante alrededor de la línea de $y=x$ corresponde a la rotación de los subespacios propios de la $x_1x_2$-plano. Sin embargo, tenga en cuenta que una rotación por un ángulo de $\theta$ $xyz$ espacio corresponde a una rotación de los subespacios propios por un ángulo de $\theta/2$ $x_1x_2$- plano.

En general, si pensamos en el espacio de todos los simétrica $n\times n$ matrices como $\mathbb{R}^{n(n+1)/2}$, entonces las matrices con determinante $0$ formulario de algún tipo de hipersuperficie en este espacio, y la positiva definida matrices será uno de los componentes del complemento de esta hipersuperficie (que puede ser definida analíticamente mediante el líder principal de los menores de edad). La positiva definida matrices puede ser obtenido por "rotación" el espacio de positivo diagonal de las matrices, aunque, en general, la rotación es más complicado que una simple rotación alrededor de un eje. Esta rotación corresponde geométricamente a la rotación de la perpendicular marco de subespacios propios en $\mathbb{R}^n$.

Answer 2

No sabes lo que pretenden, con la segunda pregunta. Esto es lo que yo creo: que en realidad no necesita considerar todos los términos de hacer que...$f(\mathbf x,\Sigma)=0$ es equivalente a uno de los términos de soplado, hasta el infinito:

$$ (\mathbf x-\mathbf x_i)^T\left(\frac{\Sigma+\Sigma_i}{2}\right)^{-1}(\mathbf x -\mathbf x_i)=\infty $$

Por supuesto, se recurre a la homogeneización $\mathbf x\mapsto\mathbf x/\mathrm x_0$: $$ (\mathbf x/\mathrm x_0 -\mathbf x_i)^T\left(\frac{\Sigma+\Sigma_i}{2}\right)^{-1}(\mathbf x/\mathrm x_0 -\mathbf x_i)=\infty $$ además de ser equivalente a $$ \begin{split} (\mathbf x-\mathbf x_i\mathrm x_0)^T\left(\frac{\Sigma+\Sigma_i}{2}\right)^{-1}(\mathbf x-\mathbf x_i\mathrm x_0)=\mathbf x^T\left(\frac{\Sigma+\Sigma_i}{2}\right)^{-1}\mathbf x&=0\\ \mathrm x_0&=0 \end{split} $$ Esto tiene el sentido geométrico de un quadric inducida en un hyperplane si usted fix $\Sigma$. Cuando cambie $\Sigma$, usted termina con una familia de quadrics. Pero, por supuesto, si $\Sigma+\Sigma_i$ es positiva definida, la quadric es un conjunto vacío tan largo como $\mathbb R^n$ se considera. No estoy seguro de la forma en que podría ayudar.