Supongamos $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ es un dominio acotado y $f\in L^q$$q\in (1,\infty)$. Si $u\in H_0^1(\Omega)$ satisface $$\int_\Omega \nabla u\nabla v=\int_\Omega fv,\ \forall\ v\in H_0^1(\Omega)$$
entonces podemos concluir que existen algunas constantes $C>0$ tal que $$\|u\|_{1,q}\leq C(\|u\|_q+\|f\|_q)$$
Ahora supongamos que $p\in (1,\infty)$ $u\in W_0^{1,p}(\Omega)$ satisface $$\int_\Omega |\nabla u|^{p-2}\nabla u\nabla v=\int_\Omega fv,\ \forall\ v\in W_0^{1,p}(\Omega)$$
Podemos concluir que existen algunas constantes $C>0$ tal que $$\|u\|_{1,q}\leq C(\|u\|_q+\|f\|_q)$$
Notas: La constante $C$ no depende de $q$$u$. Para el caso de $p=2$, podemos demostrar que, de hecho, $u$ es una solución Fuerte de decir $-\Delta u=f$ en casi todas partes. A partir de este hecho podemos concluir que la primera desigualdad (véase, por ejemplo, Gilbard-Trudinger en la sección de $L^p(\Omega)$ estimaciones en el Capítulo 9).
Para $p\neq 2$ no sé si $u$ sigue siendo una solución Fuerte y si la misma tecnica se puede aplicar.
Cualquier sugerencia o referencia se agradece.
