La versión corta de esta pregunta es: que (natural) axioma debe ser añadido a ZF para que la instrucción "$\aleph_{0}$ es el más pequeño infinito" se convierte en verdad?
Un conjunto $A$ es llamado infinito si se puede poner en bijection con un subconjunto de sí mismo, o, equivalentemente, si existe una inyección de $\phi \colon A \hookrightarrow A$ que no es un bijection. Considere la siguiente prueba de que la cardinalidad de los números naturales, $\aleph_{0}$, es el 'más pequeño' infinito.
Es suficiente para demostrar que para todo conjunto infinito $A$ hay una inyección de $\mathbb{N} \hookrightarrow A$. Es fácil probar que si $A$ es en bijection con un conjunto $B$, $B$ también es infinito. Definir $A_{0} = A$, y deje $\phi_{0} \colon A_{0} \rightarrow A_{0}$ ser una inyección que no es un bijection. Denotar $A_{1} = \phi(A_{0})$, e $B_{1} = A_{0} - A_{1}$. Por definición de $\phi_{0}$,$B_{1} \ne \emptyset$. Desde $A_{1}$ también es infinito (como $\phi$ restringe a un bijection entre el$A_{0}$$A_{1}$), podemos repetir este proceso con un no-bijective de inyección de $\phi_{1} \colon A_{1} \rightarrow A_{1}$, y definir $A_{2} = \phi_{1}(A_{1})$ $B_{2} = A_{1} - A_{2}$ ,$B_{2} \ne \emptyset$.
Continuar de esta forma podemos obtener un infinito descendente de la cadena de adecuada subconjuntos $$A_{0} \supsetneq A_{1} \supsetneq A_{2} \supsetneq A_{3} \supsetneq A_{4} \supsetneq \cdots$$ y un countably familia infinita $\{B_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}$ mutuamente disjuntas subconjuntos de a $A$. La elección de un $b_{i}$ a partir de cada una de las $B_{i}$, obtenemos una secuencia infinita de elementos de $A$ sin repeticiones $$b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, \dots,$$ que es exactamente una inyección de $\mathbb{N} \hookrightarrow A$.
A mí me parece claro que el argumento de arriba usa el axioma de elección en la elección de la secuencia de $\{ b_{n} \}_{n \in \mathbb{N}}$. También parece claro que sin algo como el AC no puede garantizar que el $\aleph_{0}$ es el más pequeño infinito. Sin embargo me han dicho que la gente a menudo erróneamente usar el axioma de elección, o usar la plena axioma cuando un débil variante sería hacer. Desde aquí tengo un pedido, countably colección infinita de conjuntos de hacer una elección de la que, parece que este podría ser el caso.
Yo no soy conjunto teórico, así que no sé cómo responder a estas preguntas (y tal vez incluso la forma de preguntar), pero más o menos: hay que comúnmente se utiliza axiomas que implica '$\aleph_{0}$ es el más pequeño infinito", pero son más débiles que los de CA? Hay un mínimo de tal axioma? Puede uno adoptar '$\aleph_{0}$ es el más pequeño infinito', como un axioma, o sería esta causa problemas?
EDIT: se me ha informado de abajo que no hay versión de el axioma de elección es necesario con esta definición de conjunto infinito'. Entonces, ¿qué pasa cuando hacemos uso de la 'costumbre' definición de un conjunto infinito: un conjunto que no está en bijection con cualquier número natural.
Pregunta complementaria: ¿por qué es la 'costumbre' definición preferible a la 'bijective con el subconjunto" definición? La segunda parece más natural para mí, viendo como se menciona sólo a los conjuntos y no requiere que se definan números.
