¿Cómo funcionan los grupos de homología? Mirando el artículo de la wikipedia, se enumeran, por ejemplo, $H_k(S^1) = \mathbb Z$ para $k = 0,1$ y ${0}$ de lo contrario. También dice que $H_k(X)$ son los agujeros de la dimensión K en $X$ . Por lo tanto, hay un agujero 0-d y un agujero 1-d. Veo un agujero 2-d, pero no de 1-d ni de 0-d. Esta tendencia continúa para el otro ejemplo listado. ¿Qué es lo que me falta completamente? Gracias.
Respuestas
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En realidad, los grupos de homología de un espacio k-dimensional miden agujeros, pero para dimensiones $1,2,..,k-1$ . Para la dimensión cero, miden el número de componentes conectados , y para la homología superior, miden si el espacio es orientable o no. Un agujero se define informalmente como una obstrucción a la contracción de un objeto n-dimensional dentro del espacio, de modo que un agujero 1-d en un espacio topológico de dimensión mayor que uno una obstrucción a la contracción de una curva dentro del espacio en un punto, aunque ( ver comentarios) se puede considerar una homología superior no nula como un agujero .
Obsérvese que, algebraicamente, definimos un agujero como un ciclo no acotado, es decir, decimos que la homología es no trivial , o que hay un agujero n si el cociente $Z_n/B_n \neq {id}$ . Si se observa, por ejemplo, el caso de un 2-toro $T^2:= S^1 \times S^1$ Verás que, por ejemplo, un meridiano es un ciclo que no limita, porque su eliminación no desconecta el espacio. Lo mismo ocurre con cualquier curva estrictamente latitudinal. Estos dos ciclos (curvas simples-cerradas en el espacio) generan la homología del toro.
Una propiedad adicional de los grupos de homología es que EDIT: esto se aplica a la mayoría de los espacios con los que te vas a encontrar a menos que hagas un trabajo especializado ( ver el comentario de Mariano más abajo) , para un espacio $X$ de dimensión topológica: http://en.wikipedia.org/wiki/Topological_dimension mayor que $k$ tenemos que $H_k(X) =0$ . Obsérvese que esto no es cierto para algunos de los grupos $\pi_n(X)$ .
Xetius
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El $k$ -grupo de homología mide cuántos $k$ sub-objetos de dimensión en $X$ están ahí que no son el límite de $(k+1)$ sub-objetos de la dimensión de $X$ . No estoy siendo preciso en lo que es una cosa en esto, porque eso es difícil y, en cierto sentido, la definición precisa de una cosa es lo que codifica la definición real de la homología.
Una realización ideal de esto sería la siguiente: si $X$ es un espacio, podríamos definir $H_k$ el conjunto de mapas $f:M\to X$ de un $k$ -de las dimensiones de la colmena $M$ a $X$ que son no la restricción de un mapa $g:N\to X$ de un $(k+1)$ -con límite $N$ a $X$ tal que $\partial N=M$ y $g|_M=f$ . Ahora bien, esta definición refleja la idea del primer párrafo, pero no tiene las propiedades técnicas necesarias para hacer algo sensato. Así que hay que adaptarse.
Esta idea es suficiente para ver por qué un toroide $T$ tiene un $2$ -entero: el mapa de la identidad $id:T\to T$ no se extiende a ningún $3$ -manifold $N$ con límite $\partial N=T$ . Por supuesto, ¿cómo se demuestra esto? Bueno, las grandes mentes de las personas que desarrollaron la teoría de la homología idearon la definición real para poder demostrarlo.
Más tarde. La idea anterior no funciona. Una forma de mejorarla es la siguiente. Dejemos que $Z_k(X)$ sea el grupo abeliano libre cuya base es el conjunto de todos los mapas $f:M\to X$ definido en un $k$ -orientable y orientada $M$ (llamamos a estos mapas $k$ -ciclos en $X$ ) y ahora declaramos dos $k$ -ciclos $f_1:M_1\to X$ y $f_2:M_2\to X$ sean equivalentes (el término habitual es homólogo) si existe un mapa $g:N\to X$ de un $(k+1)$ -de las dimensiones de la colmena $N$ con límite, tal que el límite $\partial N$ es la unión disjunta de $M_1$ y $M_2$ y tal que la restricción de $g$ a $\partial N$ coincide con $f_1$ y $f_2$ (No estoy dando todos los detalles aquí...) Dejemos $H_k(X)$ sea ahora el quotint de $Z_k(X)$ por esa relación. Esta es una aproximación mucho mejor a la homología real (incluso es igual a ella en algunos casos, creo)
