Demostrar que $f=$ identidad

Question

Dejemos que $D$ sea el disco unitario cerrado en $\mathbb{C}$ y que $f:D\to D$ sea una función tal que

• $f$ es igual a la función de identidad $\mathrm{Id}$ específicamente en el círculo de unidades ( $\partial D$ )
• $f$ es continua en $D$
• $f\circ f=\mathrm{Id}$ en $D$

¿Cómo demostramos que $f=\mathrm{Id}$ en todos los $D$ ?

Answer 1

De todos modos, la forma en que lo resolví fue a través de unos dibujos que no puedo mostrar, pero que espero poder explicar.

Supongamos que $f$ no es la identidad. En ese caso tiene que haber al menos un par de puntos (A, A') que se mapeen entre sí por $f$ La razón es que $f$ es su propia inversa.

Dibuja una curva simple y cerrada s que pase por A y A' y que toque la arista exactamente en dos puntos (B y B'). Ahora, dibuje una curva simple t desde A, hacia el círculo unitario, terminando en un punto C en el borde, NO intersecando s. Aplique $f$ y ver que los dos deben ahora intersecarse, por lo tanto $f$ no puede ser una biyección, contradiciendo la tercera suposición, que f tiene una inversa.

Ahora bien, no me gusta mucho esta demostración, ya que sospecho que el resultado se aplica al menos a cualquier bola cerrada de dimensión finita. Por desgracia, todavía no he podido demostrarlo.

Answer 2

He aquí una prueba utilizando la topología algebraica.

Dejemos que $f$ sea una involución continua del disco cerrado $D$ que actúa como la identidad en el círculo límite $S$ . Supongamos que $f(x) = y \ne x$ para algunos $x$ en el interior de $D$ . Entonces, como $f \circ f = \textrm{id}$ , $f$ actúa sobre el complemento de $\{ x, y \}$ . Así que dejemos $X = D \setminus \{ x, y \}$ . No es difícil demostrar que $X$ es homotopía equivalente a la unión en cuña de dos círculos $S^1 \vee S^1$ por una deformación retraída, por lo que vemos que el grupo fundamental de $X$ es el grupo libre sobre dos generadores.

Ahora, consideremos el homomorfismo $f_* : \pi_1(X) \to \pi_1(X)$ inducido por $f$ . Por funtorialidad, $f_*$ también es una involución. Sea $a$ sea la clase de homotopía de una curva simple cerrada que gira en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de $x$ y que $b$ sea la clase de homotopía de una curva simple cerrada que gira en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de $y$ . Está claro que $a$ y $b$ generar $\pi_1(X)$ y se puede demostrar que $f_*(a) = b$ y $f_*(b) = a$ . Dejemos que $c$ sea la clase de homotopía de la curva $\gamma$ yendo en sentido contrario a las agujas del reloj en el círculo límite $S$ . Debemos tener $f_*(c) = c$ ya que $f \circ \gamma = \gamma$ . Podemos suponer sin pérdida de generalidad que $c = a b$ . Pero $f_*$ es un homomorfismo, por lo que esto implica $a b = b a$ lo que contradice nuestra anterior afirmación de que $a$ y $b$ generar $\pi_1(X)$ libremente.

Concluimos que cualquier involución continua de $D$ Fijación de $S$ debe ser de hecho la identidad en todos los $D$ .