Es decir un conjunto es denso en ninguna parte lo mismo que decir un conjunto no tiene interior?

Question

Tengo dos declaraciones

"Un conjunto X es denso en ninguna parte"

"Un conjunto X no tiene interior"

Son estos dos instrucción equivalente?

Answer 1

No, $\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ tiene un vacío interior, pero es denso en $\mathbb{R}$.

Answer 2

Para su posible uso en el futuro por otros, puede ser útil para diseccionar estas nociones un poco más sistemáticamente en un espacio métrico configuración para ver lo que los hace diferentes. En particular, esto mostrará cómo estar en ningún lugar denso es un super-fuerte de vacío interior.

$B(x,\epsilon)$ denota la bola abierta centrada en $x$ radio $\epsilon,$ donde $\epsilon > 0$ es asumido.

$X$ ha vacío interior

Esto es equivalente a cada una de las siguientes:

$X$ no tiene los puntos del interior.

Para cada una de las $x$ en el espacio, $x$ no es un punto interior de a $X.$

Para cada una de las $x$ en el espacio, no hay ningún vacío conjunto abierto que contiene a $x$ que es un subconjunto de a $X.$

Para cada una de las $x$ en el espacio, no hay ninguna bola de $B(x,\epsilon)$ que es un subconjunto de a $X.$

Para cada una de las $x$ en el espacio, cada balón $B(x,\epsilon)$ contiene al menos un punto que pertenece a la dotación de $X.$

$X$ es denso en ninguna parte

Esto es equivalente a cada una de las siguientes:

$X$ no es denso en cada conjunto abierto no vacío.

$X$ no es denso en cada balón $B(x,\epsilon).$

Para cada una de las $x$ en el espacio, cada balón $B(x,\epsilon)$ NO está densamente lleno de puntos de $X.$

Para cada una de las $x$ en el espacio, cada balón $B(x,\epsilon)$ contiene al menos un conjunto abierto no vacío es un subconjunto del complemento de $X.$

Para cada una de las $x$ en el espacio, cada balón $B(x,\epsilon)$ contiene al menos una bola en la que todos los puntos pertenecen a la dotación de $X.$

Answer 3

$X$ es denso en ninguna parte si Int(Cl$(X))$ está vacía. Esto no es equivalente a "Int($X)$ está vacío". Por ejemplo, si $X=\mathbb Q$ en el espacio de $\mathbb R$, entonces Int($X$) está vacía, pero Int(Cl($X$))=Int($\mathbb R$) $=\mathbb R.$ tenga en cuenta que $X$ puede ser denso en todo el espacio y vacío interior.