Me gustaría entender un intuitiva de aproximación a las definiciones de Dolbeault Cohomology (usando$\partial$$\bar{\partial}$) similar a la dada aquí.
Todas las sugerencias son bienvenidas.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta pregunta ha sido formulada y contestada en MathOverflow. Me han replicado David Speyer aceptado contestar a continuación.
Aquí hay algunas tonterías que me parece útil: En un complejo colector,
$$\frac{\mbox{locally constant functions}}{\mbox{smooth functions}} \approx \frac{\mbox{locally constant functions}}{\mbox{holomorphic functions}} \cdot \frac{\mbox{holomorphic functions}}{\mbox{smooth functions}}$$
El lado izquierdo es donde una buena intuición geométrica mentiras, y de Rham cohomology medidas de lo complicado que es. Por ejemplo, $H^0$ mide cuántos localmente constante de funciones. En un contráctiles el espacio, donde la $H^{\ast}$ se desvanece, suave mapas son homotópica a localmente constante de mapas.
Dolbeault cohomology medidas de lo complicada que es el segundo término en el lado derecho es. Esto no es como el geométrico, ya que es "la raíz cuadrada de la geometría". Sin embargo, es útil pensar acerca de cuando es grande o pequeño.
En una jarra espacio, Dolbeault se desvanece. Esto significa que las funciones lisas y holomorphic funciones están cerca de ser el mismo, y todo lo interesante de la geometría es en la primera fracción. De hecho, en Stein espacio, hay un montón de holomorphic funciones, y cada una de las cohomology clase tiene un holomorphic representante.
En un compacto de Kahler colector, por otro lado, Dolbeault cohomology es grande. Esto significa que hay menos holomorphic funciones de las funciones lisas, y que sólo una pequeña parte de la geometría puede ser visto en holomorphic términos. De hecho, en este caso, todos los holomorphic funciones son localmente constante, y sólo un pequeño número de cohomology clases de holomorphic representantes.
Para realmente decir algo preciso, hay tres secuencias exactas de las poleas que se presentan en todas partes en la geometría algebraica. Escribir $\underline{\mathbb{C}}$ para el nivel local constante $\mathbb{C}$valores de las funciones, $\mathcal{H}^p$ para el holomorphic $(p,0)$ formas y $\Omega^{(p,q)}$ para el $C^{\infty}$ $(p,q)$-los formularios. Set $\Omega^n = \bigoplus \Omega^{p, n-p}$, el liso $n$-formas. Entonces tenemos exacto secuencias:
$$0 \to \underline{\mathbb{C}} \to \Omega^0 \overset{d}{\longrightarrow} \Omega^1 \overset{d}{\longrightarrow} \Omega^2 \overset{d}{\longrightarrow} \cdots$$
$$0 \to \underline{\mathbb{C}} \to \mathcal{H}^0 \overset{\partial}{\longrightarrow} \mathcal{H}^1 \overset{\partial}{\longrightarrow} \mathcal{H}^2 \overset{\partial}{\longrightarrow} \cdots$$
$$0 \to \mathcal{H}^p \to \Omega^{(p,0)} \overset{\bar{\partial}}{\longrightarrow} \Omega^{(p,1)} \overset{\bar{\partial}}{\longrightarrow} \Omega^{(p,2)} \overset{\bar{\partial}}{\longrightarrow} \cdots$$
Del lado izquierdo de la tontería de la ecuación se refiere a cosas relacionadas con la primera secuencia. Las dos fracciones en el lado derecho se refieren respectivamente a las cosas relacionadas con el segundo y tercer secuencias.
