Fijo, atraer puntos de Fatou puntos

Question

Deje $f$ ser un holomorphic función en un conjunto conectado a $\Omega\subset \mathbb{C}$ $z_0\in \Omega$ a un punto fijo, y $\{f^n\}_{n\in \mathbb{N}}$ la secuencia de la recorre.

Quiero demostrar que si $|f'(z_0)|<1$, entonces hay un barrio de $z_0$ tal que $\{f^n\}$ es normal en ella.

Realmente no sé qué hacer, porque no sé cómo manejar la iteración. Creo que el hecho de que $|f(z)| < |z-z_0| + |z_0| + \epsilon |z-z_0|$ podría ser útil para aplicar el teorema de Montel, pero no llegué muy lejos.

Esta no es la tarea, es un problema estoy tratando de resolver como la preparación de un análisis complejo de examen.

También: estaría agradecido de tener una interpretación geométrica de $|f'(z_0)|<1$ o de $|f'|$ en general. Yo no entiendo muy bien qué significa para $|f'(z_0)|<1$, por ejemplo en Schwarz lema.

Answer 1

Yo creo que lo tengo. Me corrija si estoy equivocado.

Existe un entorno $U$ $z_0$ tal que $|f(z)-z_0|\leq \rho |z-z_0|$ donde $|f'(z_0)|<\rho<1$.

A continuación, para todos $z\in U$, $|f^n(z_0)-z_0| = |f(f^{n-1}(z))-z_0| \leq \rho |f^{n-1}(z)-z_0| \leq \dots \leq \rho^n |z-z_0|$.

Esto significa que la secuencia de $\{f^n\}$ converge uniformemente a$z_0$$U$, debido a $\rho^n\to 0$$n\to \infty$. En particular, se converge uniformemente en compactos de $U$, de donde $\{f^n\}$ es normal en $U$.

Todavía queda la última parte de la pregunta a ser contestada, aunque.