Anillo de la matriz $\cong \Bbb F_2[x]/x^2 = $ números dobles sobre $\Bbb Z/2$

Question

Sin ninguna razón real, hice una clasificación de anillos (asociativos, con un 1) con menos de 8 elementos (resulta que todos son conmutativos). La mayoría de los anillos que obtuve eran de un tipo que conocía -a saber: cíclicos, de campo o booleanos- pero uno no lo era.

$R \hspace{.04 in} := \hspace{.04 in} \Bigg\langle \bigg\{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\bigg\} \text{ , matrix operations over the field } \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \Bigg\rangle$

En $R$ ¿se produce en alguna situación remotamente natural?

Answer 1

Es el caso $\rm\ R = \mathbb F_2$ de $\rm R[t]/t^2\:.\ $ Esto se conoce como el álgebra de los números duales sobre el anillo $\rm R$ . Tales anillos y análogos de orden superior $\:\rm R[t]/t^n \;$ resultan bastante útiles cuando se estudian las derivaciones (superiores) algebraicamente, ya que tales anillos proporcionan una modelos algebraicos de espacios tangentes/de chorro . Por ejemplo, permiten transferir fácilmente las propiedades de los homomorfismos a las derivaciones -- véase, por ejemplo, la sección 8.15 en Jacobson, Basic Algebra II. Véase este puesto para más información y enlaces.

Answer 2

No estoy seguro de lo que sería natural en este contexto, pero me parecería natural denotar $0 = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$, $1 = \begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}$ , $\epsilon = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ , $1+\epsilon = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ Donde 0 es una unidad aditiva, $1$ es una unidad multiplicativa y $\epsilon^2 = 0$ .

Así que este anillo surge como $\mathbb Z[\epsilon]/(2,\epsilon^2)$ .

Answer 3

$R$ es un subarreglo determinado del anillo $B$ del triángulo superior $2 \times 2$ matrices sobre $\mathbb{F}_2$ . $B$ surge como el anillo de endomorfismo de un bandera completa en $(\mathbb{F}_2)^2$ Así que, en ese sentido, es un objeto geométrico natural para mirar. La construcción se generaliza a un espacio vectorial sobre cualquier campo.

Sin embargo, no estoy seguro de lo que quieres decir exactamente con "situación natural", ni de por qué deberías esperar que todo anillo finito se encuentre en una situación así. Para cualquier campo finito $\mathbb{F}_q$ cada subring de $\mathcal{M}_n(\mathbb{F}_q)$ es un anillo finito, por ejemplo. Como dice George Lowther, para los anillos conmutativos finitos también podemos considerar los cocientes $\mathbb{F}_q[x]/p(x)$ para polinomios arbitrarios $p(x)$ . Estos se descomponen en productos de anillos de la forma $\mathbb{F}_q[x]/r(x)^n$ para los irreducibles $r$ que es una forma del teorema del resto chino y está relacionado con el teorema de la estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal (en este caso, $\mathbb{F}_q[x]$ ). ¿Es esto "natural"?

Answer 4

Dejemos que $R$ sea un anillo asociativo con $1 \neq 0$ y que $M$ ser un $(R,R)$ -bimódulo. Entonces el siguiente conjunto de matrices forma un anillo con respecto a las operaciones habituales de suma y multiplicación de matrices. \begin{equation} T(R,M) = \left\{\begin{pmatrix}r & x \\ 0 & r\end{pmatrix} \r en R,~ x en M\right} \fin{de} Cualquier anillo de este tipo se conoce como extensión trivial . El anillo descrito en la pregunta tiene la forma $T(R,R)$ para $R = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .