Esta no es una pregunta trivial, y en responder que espero convencerte de que "exponencial" en realidad significa al menos dos cosas diferentes, así que voy a responder en etapas.
Grupos, o tal vez abelian grupos, dar adición.
Anillos de darle la adición y la multiplicación. A veces un elemento de un anillo que será invertible, en el que caso de que obtenga una noción limitada de la división. Pero esto es sutil: para no conmutativa anillos, los elementos pueden tener derecho a la recíproca $a a^{-1} = 1$ sin haber dejado inversos $a^{-1} a = 1$, y viceversa. Además, el derecho de los inversos de izquierda y de los inversos no son únicas. Sin embargo, toda la izquierda inversa debe ser igual a cualquier derecho inversa (prueba: si $ba = ac = 1$$bac = b(ac) = b = (ba)c = c$), por lo que si un elemento tiene una izquierda y una derecha inversa, a continuación, tiene dos caras, a la inversa, y esto de dos caras, la inversa es única.
En cualquier monoid escrito multiplicatively es posible hacer sentido de la exponencial $a^n = a \cdot a \cdot ... \cdot a$ enteros no negativos $n$ (y para los números enteros $n$ si $a$ es invertible, en particular si el monoid es un grupo). Este exponencial satisface $a^{n+m} = a^n a^m$ $(a^n)^m = a^{nm}$ como se esperaba, y satisface $(ab)^n = a^n b^n$ si $a$ $b$ tiempo de viaje, pero no en general. Si el monoid es la multiplicación en un anillo, entonces el teorema del binomio
$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^k b^{n-k}$$
tiene de nuevo si $a$ $b$ tiempo de viaje, pero no en general. (Si $a$ $b$ son matrices y $n = 2$, por ejemplo,$(a + b)^2 = a^2 + ab + ba + b^2$.)
Un punto importante, que no puedo enfatizar lo suficiente, es que en esta forma general de la exponenciación de la base y el exponente son los diferentes tipos de cosas. Uno es un elemento de un monoid o un anillo y el otro es un número entero. Generalmente este es el comportamiento esperado de los distintos tipos de exponenciación y el hecho de que parece ser falso para el común de los números es profundamente engañoso.
De nuevo, en cualquier monoid escrito multiplicatively es posible hacer sentido de los radicales: se dice que $\sqrt[n]{a} = b$ si $a = b^n$. Los radicales ni existen ni son únicos en general, pero ya se ve este comportamiento de los números reales, por lo que no debería ser demasiado sorprendente. Así que, para resumir:
En cualquier ring $R$ podemos hacer sentido de la adición, la substracción, la multiplicación, la división, exponenciales, donde la base es un elemento del anillo y el exponente es un entero no negativo, y los radicales. La división es sólo parcialmente definidos, y que los radicales libres son tanto parcialmente definidos y multivalor. Algunas buenas propiedades de fallar al $R$ es no conmutativa.
En lugar de pedir exponenciales donde la base es un objeto de anillo, podemos pedirle exponenciales donde el exponente es un elemento del anillo. Más precisamente, nos podemos preguntar por el objeto
$$e^a = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^n}{n!}$$
a estar bien definidos. Para que esto suceda, $R$ necesita más estructura. En primer lugar, tenemos que ser capaces de dividir por $n!$, lo $R$ tiene que ser un $\mathbb{Q}$-álgebra. En segundo lugar, debemos tomar infinitas sumas de dinero, así que tenemos alguna noción de límites. (En realidad, hay un pequeño cop-out): si $a$ es nilpotent entonces podemos trabajar con finito de sumas de dinero, pero el resultado de la función sólo será parcialmente definida por la identidad, por ejemplo, en un anillo nunca es nilpotent.) Por lo $R$ tiene que ser un topológico $\mathbb{Q}$-álgebra. Por supuesto, esto no garantiza que el límite existe.
Un escenario en el que el límite anterior siempre que existe es al $R$ es un álgebra de Banach. En este establecimiento $e^{a+b} = e^a e^b$ si $a$ $b$ conmutar pero, una vez más, no en general.
En un álgebra de Banach, también podemos definir los logaritmos de ciertos elementos, utilizando el poder de expansión de la serie
$$\log(1 + a) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{a^n}{n}.$$
Esto sólo converge para $|a| < 1$ en general, pero donde se define que proporciona un adecuado inversa de la exponencial. De nuevo, resumiendo:
En un topológico $\mathbb{Q}$-álgebra podemos hacer sentido de la adición, la substracción, la multiplicación, la división, exponenciales, donde la base es un elemento del anillo y el exponente es un entero no negativo, radicales, exponenciales, donde la base es $e$ y el exponente es un elemento del anillo, y los logaritmos. Las dos últimas son sólo parcialmente definidos, aunque la exponencial es siempre bien definida en un álgebra de Banach.
No puedo enfatizar esto lo suficiente: hay al menos dos cosas que debería haberse llamado exponencial, y el hecho de que ellos están de acuerdo, por ejemplo, positivos reales es un arenque rojo. En general, la base y exponencial son los diferentes tipos de objetos y jugar diferentes roles. Por supuesto, siempre se puede definir
$$a^b = e^{\log(a) b}$$
pero debido a la parcial y definido de múltiples valores de la naturaleza del logaritmo no estoy convencido de que este es un productivo que hacer. Mejor pensar acerca de exponenciales y logaritmos por separado.
En el cierre voy a enlazar al artículo de Wikipedia sobre exponencial de los anillos, pero mi impresión es que esto no es un formalismo que ve mucho uso fuera del modelo de la teoría. (Cualquier álgebra de Banach equipado con la exponencial $e^a$ anterior es una exponencial anillo, pero tiene mucho más de la estructura que esta dado por la holomorphic funcional de cálculo.)
