Probar si $A \in Mat_{n,n}(\mathbb F)$ es simétrica y sesgar-simétrica, a continuación, $A=0$

Question

Probar si $A \in Mat_{n,n}(\mathbb F)$ es simétrica y sesgar-simétrica, a continuación, $A=0$

Sé $A^T = A = -A \Rightarrow A = -A \Rightarrow A_{i,j} = -A_{i,j}$.

Desde $\mathbb F$ es un campo que ha $2A_{i,j} = 0 \Rightarrow 2 = 0 \lor A_{i,j} = 0$.

Sin embargo ¿cómo puedo comprobar la $A_{i,j} = 0$ ? Supongamos $\mathbb F = \{[0],[1]\}$. A continuación,$2 = 0$, por lo que no puedo concluir $A_{i,j} = 0$ ?

Answer 1

[a partir de mi comentario]

Usted está exactamente correcto. Esto se aplica en todos los casos, pero la característica $2$. Para ver esto, $A=−A\implies2A=0$, y eso es cierto para cada matriz en el carácter $2$. Todo lo que necesitas es un ejemplo claro para demostrar que un valor distinto de cero $A$ existe, por ejemplo, la identidad.