¿Por qué son estas dos definiciones de la izquierda-adjoint a $u^p\colon PShv(D)\to PShv(C)$ equivalente?

Question

Supongamos $u\colon C\to D$ es un functor entre las categorías. Entonces no es un functor $$ u^p\colon PShv(D)\a PShv(C) $$ entre los asociados presheaf categorías de la precomposición con $u$ como se explicó en las pilas de proyecto.

Uno puede construir una izquierda-adjoint $u_p$ $u^p$en dos formas:

Primero, uno de los conjuntos de $F\in PShv(C)$ $V\in D$ $$ \begin{array}{rcl} u_p(F)(V)&=&\underset{(YU\to F)\in \int_CF}{\operatorname{colim}} Y(u(U))(V)\\ &=&\underset{(YU\to F)\in \int_CF}{\operatorname{colim}} Hom_{D}(V,uU) \end{array} $$ donde $Y$ denota la Yoneda la incorporación de la $C$ (resp. $D$) en el $PShv(C)$ (resp. $PShv(D)$) y donde $\int_CF$ es la categoría de elementos de $F$ cuyos objetos son naturales transformaciones $YU\to F$ algunos $U\in C$ y cuyos morfismos son dadas por $Yf\colon YU\to YU'$ para algunos morfismos $f\colon U\to U'$ $C$ a caber en un conmutativa triángulo más de $F$. Esta construcción de la izquierda-adjoint es una izquierda Kan extensión. Uno ha dado el functor $u$ de representables y prolonga es universalmente a un functor de la categoría de presheaves.

En segundo lugar, de acuerdo con las pilas proyecto, el de la izquierda-adjoint $v^p$ (yo sólo temporalmente escribir $v^p$ $u^p$ a distinguir a partir de la primera definición) $u_p$ está dado por $F\in PShv(C)$ $V\in D$ por $$ v_p(F)(V)= \underset{(V\a uU)\en (I_V^u)^{opp}}{\operatorname{colim}} F(U) $$ donde $I_V^u$ es la categoría cuyos objetos son morfismos $V\to u(U)$ $D$ algunos $U\in C$ y cuyos morfismos son dadas por $uf\colon uU\to uU'$ para algunos morfismos $f\colon U\to U'$ $C$ a caber en un conmutativa triángulo bajo $V$.

Por supuesto, se puede decir que una izquierda adjunto a un functor $u^p$ es único hasta el isomorfismo natural de functors pero mi pregunta es:

Hay un hormigón natural isomorfismo entre el$u_p$$v_p$? Si sí, ¿cómo se construye y cómo, para mostrar que es un isomorfismo?

Answer 1

Relativa $v_p$:

Para cualquier ${\mathscr F}\in\text{PreShv}({\mathcal C})$ tenemos $$(\ast)\quad\underset{\alpha\in {\mathscr F}U}{\text{colim}}\ {\mathcal C}(-,U)\xrightarrow{\cong} {\mathscr F}.$$ $$(\alpha\in{\mathscr F}U,\beta: U^{\prime}\to U)\longmapsto {\mathscr F}(\beta)(\alpha)\in{\mathscr F}(U^{\prime}).$$ Conectar esta en su segunda descripción da $$(\dagger)\quad v_p({\mathscr F})(V) := \underset{V\to uU}{\text{colim}}\ {\mathscr F}(U)\cong\underset{V\to uU}{\text{colim}}\ \underset{\alpha\in {\mathscr F}U^{\prime}}{\text{colim}}\ {\mathcal C}(U,U^{\prime}).$$

Relativa $u_p$:

Tenga en cuenta que para cualquier $V\in{\mathcal D}$ hay un isomorfismo canónico $$\underset{V\to u U^{\prime}}{\text{colim}}\ {\mathcal C}(U^{\prime},U)\xrightarrow{\cong} {\mathcal D}(V,uU), $$ $$(\alpha: V\to u U^{\prime}, \beta: U^{\prime}\to U)\ \ \longmapsto\ \ {\mathscr F}(\beta)\circ\alpha$$ $$\gamma: V\to uU\ \ \longmapsto \ \ (\alpha := \gamma, \beta := \text{id}_{U=U^{\prime}});$$ Este es un caso especial de $(\ast)$ que se aplica a la presheaf ${\mathscr G}: U\mapsto{\mathcal D}(V,uU)$${\mathcal C}^{\text{opp}}$: Un elemento de ${\mathscr G}$ es un par $(U^{\prime},\alpha)$$U^{\prime}\in\text{Obj}({\mathcal C}^{\text{opp}})=\text{Obj}({\mathcal C})$$\alpha\in{\mathscr G}(U^{\prime})={\mathcal D}(V,uU^{\prime})$, lo $${\mathcal D}(V,u(-))\quad\cong\quad\underset{V\to uU^{\prime}}{\text{colim}}\ {\mathcal C}^{\text{opp}}(-,U^{\prime})=\underset{V\to uU^{\prime}}{\text{colim}}\ {\mathcal C}(U^{\prime},-).$$ El uso de este en su descripción de la $u_p$, se obtiene $$(\ddagger)\quad u_p({\mathscr F})(V) = \underset{\alpha\in {\mathscr F}U}{\text{colim}}\ {\mathcal D}(V,uU)\cong\underset{\alpha\in{\mathscr F}U}{\text{colim}}\ \underset{V\to u U^{\prime}}{\text{colim}}\ {\mathcal C}(U^{\prime},U)$$

Conclusión:

Comparando $(\dagger)$ $(\ddagger)$ vemos que $v_p$ $u_p$ son isomorfos por el cambio de nombre $U$, $U^{\prime}$ y el intercambio de la colimits.