Evaluar $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{k^2-1}{k^4+k^2+1}$

Question

Cómo encontrar $$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2-1}{k^4+k^2+1}$$

Intento algo así:

$$\begin{align*}\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2-1}{k^4+k^2+1}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^4+k^2+1}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4+k^2+1}.\end{align*}$$

Utilizando el hecho de que $$\sum_{k = 1}^{n}{\frac{1}{k^4+k^2+1}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{n+1}{n^2+n+1}+\frac{1}{2}\cdot\sum_{k = 1}^{n-1}{\frac{1}{k^2+k+1}}$$ encontramos que $$\begin{align*}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4+k^2+1} &=\frac{1}{2}\cdot\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k^2+k+1}}\\ &=\frac{1}{6}\left(\sqrt{3}\pi \tanh{\left(\frac{\sqrt{3}\pi}{2}\right)}-1\right).\end{align*}$$

Pero no sé cómo encontrar $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^4+k^2+1}.$

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Si alguien quiere saber cómo evaluar $\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^2+k+1}$ :

Primero, $$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k^2+k+1}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{\left(k+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}}.$$ Ahora, utilizando la fórmula "bien conocida" $$\displaystyle\cos(\phi)=\prod_{k=0}^{\infty}{\left( 1-\frac{4\phi^2}{(2k+1)^2\pi^2}\right)}$$ encontramos que $$\displaystyle\log (\cos(\phi))=\sum_{k=0}^{\infty}{\log\left( 1-\frac{4\phi^2}{(2k+1)^2\pi^2}\right)}$$ y luego atacamos con $\dfrac{d}{d\phi}$ y encontrar $$\displaystyle\tan(\phi)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{8\phi}{(2k+1)^2\pi^2-4\phi^2}}.$$ Dejemos que $\phi=\pi\alpha\cdot i$ , entonces obtenemos $$\displaystyle\tan(\pi\alpha\cdot i)=i\cdot\tanh(\pi\alpha)=i\cdot\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{8\pi\alpha}{(2k+1)^2\pi^2+4\pi^2\alpha^2}}=\frac{2\alpha i}{\pi}\cdot\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{\left(k+\frac{1}{2}\right)^2+\alpha^2}}.$$ Así, encontramos que $$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{\left(k+\frac{1}{2}\right)^2+\alpha^2}}=\frac{\pi}{2\alpha}\cdot\tanh(\pi\alpha).$$ Dejemos que $ \alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$ Obtenemos $$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{\left(k+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}}=\frac{\sqrt{3}\pi}{3}\cdot\tanh\left(\frac{\sqrt{3}\pi}{2}\right)$$ ou $$\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k^2+k+1}=\frac{\sqrt{3}\pi}{3}\cdot\tanh\left(\frac{\sqrt{3}\pi}{2}\right).$$

Answer 1

Utilizando Descomposición de fracciones parciales $$\frac{k^2-1}{k^4+k^2+1}=\frac{Ak+B}{k^2-k+1}+\frac{Ck+D}{k^2+k+1}$$

Así que, $k^2-1=k^3(A+C)+k^2(A+B-C+D)+k(A+B+C-D)+B+D$

Comparando los coeficientes de diferentes potencias de $k$ en la identidad anterior,

$A+C=0$

Desde $A+B+C-D=0,B+D=0$ y $B+D=-1\implies B=-D=-\frac12$

Desde $A+B-C+D=1\implies A-C=2$ y $A+C=0\implies A=-C=1$

$$\implies\frac{k^2-1}{k^4+k^2+1}=\frac{k-\frac12}{k^2-k+1}-\frac{k+\frac12}{k^2+k+1}$$

$$\frac{2(k^2-1)}{k^4+k^2+1}=\frac{2k-1}{k^2-k+1}-\frac{2k+1}{k^2+k+1}=T(k)\text{ say}$$

$$\implies T(n)=\frac{2n-1}{n^2-n+1}-\frac{2n+1}{n^2+n+1}$$

Si ponemos $U(m)=\dfrac{2m-1}{m^2-m+1},U(m+1)=\dfrac{2(m+1)-1}{(m+1)^2-(m+1)+1}=\dfrac{2m+1}{m^2+m+1}$

$$\implies T(n)=U(n)-U(n+1)$$

Es evidente que la primera parte de cualquier término, excepto el primero término se anula con la última parte del término anterior.

$$\implies2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^2-1}{k^4+k^2+1}=U(1)=\cdots$$