En el geométrico (o Clifford) álgebra, el determinante de una lineal mapa de vectores de vectores se obtiene a través de "outermorphism". Dado lineal mapa de $\underline \phi$, no es una extensión natural de este mapa arbitrario $k$-vectores dados por
$$\underline \phi(a_1 \wedge a_2 \wedge \ldots \wedge a_k) = \underline \phi(a_1) \wedge \underline \phi(a_2) \wedge \ldots \wedge \underline \phi(a_k)$$
para $k$ distintos vectores $a_1, a_2, \ldots, a_k$.
Una $n$-dimensional espacio vectorial tiene una pseudoscalar que lo caracteriza. Este puede estar formado por tomar cuña de productos de vectores de la base. Sin embargo, como el espacio vectorial de pseudoscalars es 1-dimensional, todos pseudoscalars son múltiplos escalares de todos los demás. El pseduoscalar es una $n$-vector.
Elija algunos pseudoscalar por el espacio y denota $i$. A continuación, el factor determinante es el número de $f$ tal que
$$\underline \phi(i) = f i$$
De nuevo, se sigue que hay sólo un número, porque $i$ es un miembro de 1d espacio vectorial.
En GA lenguaje, estamos hablando de un lineal mapa se descompone en eigenblades. Hay una hoja de $W$ y su complemento $W^\perp = iW^{-1}$. Usted sabe que $\underline \phi(W) = \alpha W$ para algunos escalares $\alpha$.
Definir un mapa de proyección $\underline P(a)$ tal que $\underline P(a) \wedge W = 0$. Del mismo modo, existe un rechazo mapa de $\underline P^\perp(a)$ tal que $\underline P^\perp(a) \wedge W^\perp = 0$. Por supuesto, $\underline P + \underline P^\perp = \underline I$, la identidad.
Romper el mapa original $\underline \phi$ como sigue:
$$\underline \phi(a) = [\underline P + \underline P^\perp] \underline \phi[ \underline P + \underline P^\perp](a) = [\underline{P \phi P} + \underline{P^\perp \phi P^\perp} + \underline{P \phi P^\perp} + \underline{P^\perp \phi P}](a)$$
Los dos primeros términos son los mapas $\underline \psi$ $\underline \rho$ que la define, por lo que la ruptura es
$$\underline \phi(a) = \underline \psi(a) + \underline \rho(a) + \underline{P^\perp \phi P}(a) + \underline{P \phi P^\perp}(a)$$
Ahora, nos dijo muy específicamente que $\phi(W) = \alpha W$. Eso significa que el tercer término, $\underline{P^\perp \phi P}$, es exactamente cero (cero del bloque se observa en la forma de la matriz). Ahora podemos tomar el completo determinante al ver que $i = W^\perp \wedge W$.
$$\underline \phi(i) = \underline \phi(W^\perp) \wedge \underline \phi(W) = [\underline \rho(W^\perp) + \underline{P \phi}(W^\perp)] \wedge [\underline \psi(W)] = [\underline \rho(W^\perp) + \underline{P \phi}(W^\perp)] \wedge [\alpha W]$$
Ahora, vamos a llegar a un término que es $\underline{P \phi}(W^\perp) \wedge [\alpha W]$. Esto es igual a cero, como la proyección de $\underline P$ le de fuerza ese término que se encuentran dentro del subespacio de $W$, e $W \wedge W= 0$ siempre. Esto nos deja con
$$\underline \phi(i) = [\underline \rho(W^\perp)] \wedge [\underline \psi(W)]$$
Identidad $W^\perp$ actúa como el pseudoscalar para $\underline \rho$, como $W$ actúa como un pseudoscalar para $\underline \psi$. El resultado es
$$\underline \phi(i) = (\det \underline \rho) W^\perp \wedge (\det \psi) W = (\det \underline \rho)(\det \underline \psi) W^\perp W$$
Y de nuevo, $W^\perp W = i$, así que hemos terminado. Creo que la gran clave es el uso de la proyección o el rechazo de mapas para obtener una base independiente de la declaración del bloque de la forma de la matriz. El álgebra de Clifford medio de hablar sobre los determinantes hace más obvio que puede tomar los factores determinantes de estos restringido mapas ya que solamente se necesita el suministro de la correcta pseudoscalar para el mapa para obtener su determinante. También nos permite descomponer el determinante como la cuña de $W^\perp$ $W$ en una base independiente.
Para realizar este cálculo, ¿ tiene que elegir algunas pseudoscalar $i$, pero esto es mucho relajado en comparación con la elección de una base. Siempre se puede elegir un pseudoscalar que es la unidad, por ejemplo.
