$2^{50} < 3^{32}$ utilizando la teoría elemental de los números

Question

¿Cómo probarías; sin gran cálculos que implican una calculadora, un programa o una tabla logarítmica; o cálculos que

$2^{50} < 3^{32}$

utilizando sólo la teoría elemental de los números?

Si te ayuda: $2^{50} - 3^{32} = -727120282009217$ , $3^{32} \approx$ $2^{50.718800023077\ldots}$ , $3^{32} $ $\div 2^{50}$ $=$ $1.6458125430068558$ ( gracias a Henry ).

Answer 1

Compara: $$3^{32}=(3^{2})^{16}\quad\text{vs.}\quad2^{50}=4(2^{3})^{16}$$ Así que usando el teorema del binomio a segundo orden: $$\frac{3^{32}}{2^{50}}=\frac{(9/8)^{16}}{4}=\frac{(1+1/8)^{16}}{4} >\frac{1+16/8+120/64}{4}>1$$

Answer 2

$2^{11} = 2048 < 2187 = 3^7$ y así $\log_3 2 < 7/11$ .

Así, $50 \log_3 2 < 50\cdot 7/11 < 32$ , lo que implica el resultado.

Demostrando que $x=50$ es la mayor solución entera para $2^x < 3^{32}$ es más difícil. Tienes que saber que $2^{27} > 3^{17}$ para conseguir $x \le 50$ . Todo se reduce a aproximar $\log_3 2 = 0.630929\cdots$ por la relación de números enteros pequeños.

Answer 3

Mi enfoque fue similar al de nbubis , es decir, después de la brutal extracción de la raíz, demostrando

que $\sqrt[\Large8]2<\dfrac98~.~$ Ahora, $\sqrt2=\sqrt{\dfrac{100}{50}}<\sqrt{\dfrac{100}{49}}=\dfrac{10}7~.~$ Entonces tenemos $\sqrt[\Large4]2=\sqrt{\sqrt2}<\sqrt{\dfrac{10}7}$

$=\sqrt{\dfrac{100}{70}}<\sqrt{\dfrac{100}{64}}=\dfrac{10}8=\dfrac54~.~$ Por último, $\sqrt[\Large8]2=\sqrt{\sqrt[\Large4]2}<\sqrt{\dfrac54}=\sqrt{\dfrac{80}{64}}<\sqrt{\dfrac{81}{64}}=\dfrac98~.$

Answer 4

Obsérvese en primer lugar que esto equivale a $2^{25}\lt 3^{16}$ o $2\cdot 2^{24}\lt 3\cdot 3^{15}$ o $2\cdot 4^3\cdot 2^{24}\lt 3\cdot 4^3 \cdot 3^{15}$

Ahora $4\cdot 2^8=1024=10^3+24$ y $4\cdot 3^5=972=10^3-28$

Así que podemos reescribir la última forma de la desigualdad como equivalente a $$2\cdot(10^3+24)^3\lt 3\cdot (10^3-28)^3$$

Ampliando los factores se obtiene $$2\cdot 10^9+6\cdot24\cdot 10^6+6\cdot24^2\cdot10^3+24^3\lt 3\cdot 10^9-9\cdot28\cdot10^6+9\cdot 28^2\cdot10^3-28^3$$

Reordenando, esto da:

$$10^9+(9\cdot 28^2-6\cdot24^2)\cdot10^3\gt(9\cdot28+6\cdot24)\cdot10^6+28^3+24^3$$

Ahora es obvio que esto es cierto, porque $9\cdot 28+6\cdot 24\lt 300+150\lt 500$

Answer 5

Usted sabe que $3^7> 2000$ y $2^{10} = 10^3(1+r)$ con $|r| < 3/100 \ll 1$ por lo que $$ 2^{50}\simeq 10^{15} (1+5r) \\ 3^{32} = 3^4\times 3^{28} = 3^42^4 10^{12} > 1200 \times 10^{12 } > 2^{50}$$