¿Cuál es el tratamiento adecuado para $0^i$?

Question

Necesito calcular el límite de una expresión compleja (la tenia en una investigación de la física) que contiene un término $(r-b)^p$ $r\rightarrow b+$ donde $r,b$ son reales, y $p$ es complejo, supongamos por simplicidad $p=i$.

Al principio, me pone que es igual a $0$ como una cosa obvia, pero extrañamente, "Mathematica", me da algo extraño: $e^{2i\operatorname{Interval}[0,\pi]}$, entonces pensé que quizás me había equivocado con "obviousity" del resultado, porque en realidad podemos poner (formalmente) $0=e^{-\infty+i\phi}$, entonces si utilizamos $a^b=e^{b\log a}$ tenemos $0^i=e^{-i\infty-\phi}$ (donde todos los $2\pi k$ incluido en el infinito, o $\phi$).

Este resultado parece ser muy extraño para mí (se va a introducir un nuevo parámetro de $\phi$ en mi teoría), y he encontrado ningún ejemplo de esto, especialmente que sé que uno debe ser cuidadoso con las ramas cuando se hacen los trucos, pero no tengo ni idea de si eso es correcto o incorrecto, cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

El problema es que $x^i$ sólo está definida como $e^{i\log x}$.

Al $x$ se aproxima a cero, $\log x$ es de la forma $a+bi$ donde $a$ es un muy gran número negativo y $b$ puede ser restringido a $(-\pi,\pi]$. A continuación,$e^{i\log x}$$e^{-b} e^{ia}$.Nota que si dejamos $x$ enfoque de cero a lo largo de una línea desde uno de los lados en ángulo de $\theta$, lo que significa que el modulous de $e^{i\log x}$$e^{-\theta}$, que es constante, por lo que no se acerca a cero (y no convergen - $x^i$ básicamente zumbando alrededor de un círculo al $x\to 0$ a lo largo de una línea recta.)

Exponenciación $x^u$ cerca de $x=0$ sólo no se comportan bien.

Y esto ni siquiera toma en cuenta que el $\log x$ es de la forma más natural de múltiples valores de la función.

Incluso restringir $x$ $\mathbb R^+$ $\log x$de la normal de la real logaritmo natural, $$x^i=e^{i\log x}$$

Por lo $|x^i|=1$, y como $x\to 0+$, $x^i$ gira alrededor de la unidad de círculo en sentido horario y, ciertamente, no tiene un límite.

Answer 2

El complejo exponencial $(x+iy)^p$ no está definida de forma única. Es $(x+iy)^p = \exp(p\log(x+iy))$ donde el logaritmo se define a un múltiplo de $2\pi i$. De ahí que su fórmula no se determina únicamente y no se puede decir que tiende a cero...

Answer 3

Para hacer $\ln z$ único que uno necesita para cortar el plano complejo y es común el uso de sólo la rama principal en $\mathbb C\setminus\mathbb R_{\le0}$. Como en su problema específico $r,b$ son siempre reales y $r>b$, podemos escribir $r-b=e^t$$t\in \mathbb R$$t\to-\infty$. A continuación,$(r-b)^p=e^{pt}$. Si $\Re p=0$ (sino $\Im p\ne 0$) este hecho se mantiene rotando alrededor de la unidad de círculo, de modo que $\lim_{r\to b^+}(r-b)^p$ no existe. Si $\Re p>0$, sin embargo, a continuación,$|(r-b)^p|=|e^{pt}|=e^{t\Re p}\to 0$. Y si $\Re p<0$,$|(r-b)^p|\to\infty$. En estos dos últimos casos todavía tenemos que la rotación fenómeno de la si $\Im p\ne 0$.