Calcular la serie
$$\sum_{m>n=1}^{\infty} \frac{1}{m!n!}$$
Tenemos $$\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{ m!\,n!} = \left(\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+\cdots\right)\left(\frac{1}{1!} + \frac{1}{2!}+ \frac{1}{3!}+\cdots\right)=(e-1)^2$$ Hay que restarle los términos "diagonales": $$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n!}\right)^2 = I_0(2) - 1 \approx 2.2795853-1$$ ( ref ; $I_0(\cdot)$ es la función de Bessel modificada del primer tipo) y dividir por dos para obtener la región deseada. Por lo tanto, el resultado es
$$\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=n+1}^{\infty} \frac{1}{ m!\,n!}=\frac{(e-1)^2 - (I_0(2)-1)}{2}= \frac{e^2-I_0}{2}+1-e \approx 0.83645357$$
(+1) ¡Gracias! No creí que fuera tan fácil (o lo hiciste parecer así de fácil), salvo por el hecho de que no se cuenta nada de la forma en que lo conseguiste $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n!}\right)^2 = I_0(2) - 1 \approx 2.2795853-1$ .
@Chris'ssister: Esa parte no es nada fácil, al menos para mí. Sólo he conseguido reducir la serie doble a una serie simple, que, afortunadamente, he encontrado tabulada :-)
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No entiendo la notación. ¿Cuál es el rango de $m$ ? Es $n$ un parámetro o es una doble suma sobre $n$ y $m$ ?
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Presumiblemente significa $$\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=n+1}^{\infty} \frac{1}{ m!n!}$$ ?
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@Bambi: Sí, se puede reescribir tal y como lo has escrito arriba.
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@leonbloy: ver el comentario de Bambi. Lo escribí tal y como lo recibí.