El campo que es este cociente de un anillo local por su máxima ideal?

Question

Deje $p\in\mathbb{Z}$ ser un número primo, $\mathfrak{p}\subset \mathbb{Z}$ ser el primer ideal que genera y deje $\mathbb{Z}_{\mathfrak{p}}$ ser la localización de $\mathbb{Z}$$\mathfrak{p}$, es decir, las fracciones cuyos denominadores no mienten en $\mathfrak{p}$.

A continuación, la localización de la $\mathfrak{p}_{\mathfrak{p}}\subset \mathbb{Z}_{\mathfrak{p}}$ de la ideal $\mathfrak{p}$ es el único ideal maximal de a $\mathbb{Z}_{\mathfrak{p}}$.

El campo es $\mathbb{Z}_{\mathfrak{p}}/\mathfrak{p}_{\mathfrak{p}}$? Es $\mathbb{F}_p$? Hay una manera fácil de ver esto?

Gracias!

Answer 1

En general, si $R$ es un anillo (con lo que quiero decir conmutativo con identidad), $\mathfrak{p}$ un primer de $R$, e $k(\mathfrak{p})=R_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}R_\mathfrak{p}$ el residuo campo de $\mathfrak{p}$, entonces el natural anillo de mapa de $R/\mathfrak{p}\rightarrow k(\mathfrak{p})$ identifica el objetivo y el campo de fracciones de dominio $R/\mathfrak{p}$. Así, en particular, si $\mathfrak{p}$ es máxima, es decir, $R/\mathfrak{p}$ es ya un campo, este es un isomorfismo.