Cuando es el cyclotomic polinomio $f(x)$ sobre un campo finito $\mathrm{F}_q$ asimismo, la mínima polinomio de algún elemento $\alpha \in \mathrm{F}_q$?
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QuentinUK
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Uno puede mostrar que la cyclotomic polinomio $\Phi_n(X)$ es irreducible sobre $\mathbf F_p$ precisamente al $p$ ha multiplicativo orden de $\varphi(n)$ modulo $n$. Esto se deduce de la teoría de la cyclotomic extensiones de $\mathbf Q$.
En particular, si $(\mathbf Z/n\mathbf Z)^\times$ no es cíclica (es decir, a menos $n$ es una extraña energía primaria, dos veces una extraña energía primaria, o $n=2$ o $4$), $\Phi_n(X)$ es reducible modulo cada prime $p$, a pesar de ser irreducible sobre $\mathbf Q$!
En general, un polinomio $f\in F[X]$ es el mínimo polinomio de sus raíces sobre $F$ si y sólo si $f$ es irreducible sobre $F$. Cyclotomic polinomios no proporcionan ninguna excepción.
Sin embargo, mientras que cyclotomic polymomials son irreducibles sobre $\mathbb Q$, no todos ellos son irreductibles cuando se la considera como un polinomio sobre un campo finito. Por ejemplo, más de $\mathbb F_2$ $7$th cyclotomic polinomio $\Phi_7 = X^6 + X^5 + X^4 + X^3 + X^2 + X + 1$ factores en dos factores de grado $3$: $$ \Phi_7 = (X^3 + X + 1)(X^3 + X^2 + 1) $$ Por lo tanto $\Phi_7\in\mathbb F_2[X]$ no es irreducible y por lo tanto el polinomio mínimo de sus raíces.
Nota: Este texto fue escrito como respuesta a una versión anterior de la pregunta.
