La desigualdad relación recíproca de positiva definida matrices

Question

Yo no encontrar una manera de probar esto: dado $A$, $B$, y simétrica positiva definida:

$$A>B \Rightarrow A^{-1} < B^{-1},$$ donde $A>B$ significa que $A-B$ es positiva definida.

Answer 1

En primer lugar, supongamos que hemos resuelto al $A=I$. Tenemos, como $A>0$, $A$ admite un positivo definir la raíz cuadrada $A^{1/2}$. Tenemos
$I-A^{-1/2}BA^{-1/2}>0$. Deje $B':=A^{-1/2}BA^{-1/2}>0$. A continuación,$B'^{-1}>I$, por lo tanto $A^{1/2}B^{-1}A^{1/2}>I$ y hemos terminado.

Ahora vamos a resolver este caso: escribir $B:=C^2$ donde $C>0$. A continuación, para $x\neq 0$, $\lVert Cx\rVert^2<\lVert x\rVert^2$, que da $\lVert y\rVert^2<\lVert C^{-1}y\rVert^2$$y\neq 0$. Esto le da a $C^{-2}>I$ por lo tanto $B^{-1}>I$.