Si una secuencia de funciones convexas $\{ f_n \}$ [0,1] converge pointwise para una función continua f, entonces es la de la convergencia uniforme?
La pregunta es casi idéntico a este, excepto que las funciones no se supone que ser continua en [0,1]. Ahora sé que las funciones convexas son continuas en bloques abiertos, por lo que podemos demostrar fácilmente que la convergencia es uniforme sobre compactos de subconjuntos de (0,1) como en el enlace de arriba. Pero si tratamos de incluir los extremos 0,1 este enfoque no funciona, y de hecho, estoy empezando a pensar si tal vez hay un contraejemplo. Alguien podría proporcionar alguna idea? Gracias?
EDIT:Ya que la prueba en el enlace de arriba no funciona, ya que está formulado en el momento, podría alguien por favor explique en detalle cómo se trabaja para demostrar la afirmación asumiendo $f_n$ son continuas?
