Estoy leyendo Hartshorne de la Geometría Algebraica, II.6 acerca de Cartier Divisor. Se define a la sección global de la gavilla $K^*/O^*$. Entonces se dice: "el pensamiento de las propiedades del cociente de las poleas, vemos que un divisor de Cartier puede ser descrita por una cubierta abierta $U_i$ de X, y para cada i un elemento $f_i \in \Gamma(U_i, K^*)$ tal que para i,j, $f_i/f_j \in \Gamma(U_i \cap U_j, O^*)$. Yo no podía entender el sentido de esta parte. Puede alguien explicar más para mí por favor? Por lo tanto, debemos tomar la presheaf U $\rightarrow K^*(U)/O^*(U)$, y hacer una gavilla? Siempre estoy seguro acerca de cómo lidiar con sheafification.
Respuesta
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Este es un buen ejemplo de descripción de una sección global de la sheafification de la relación (cociente) presheaf locales de datos que pega. En otras palabras, la gavilla cociente $\mathscr K^\ast / \mathscr O^\ast$ es el sheafification de la presheaf cociente $U\mapsto \mathscr K^\ast(U) / \mathscr O^\ast(U)$, y por las propiedades de las poleas y la definición de sheafification, sabemos que una sección global de $\mathscr K^\ast / \mathscr O^\ast$ está determinado por un conjunto de secciones locales de la presheaf cociente que pegamento en los traslapos.
Ahora una sección local de la presheaf cociente es sólo un elemento $f_i\pmod{ \mathscr O^\ast(U_i)}$, y pidiéndole que una colección de $\{ f_i \}$ colas es el mismo como el requisito de que $f_i = f_j \pmod{\mathscr O^\ast(U_{ij})}$, que es el mismo que $f_i/f_j \in\mathscr O^\ast(U_{ij})$.
