Encuentre el coeficiente de $x^{20}$ en $(x^{1}+⋯+x^{6} )^{10}$

Question

Estoy tratando de encontrar el coeficiente de $x^{20}$ en $$(x^{1}+⋯+x^{6} )^{10}$$

Así que hice esto: $$\frac {1-x^{m+1}} {1-x} = 1+x+x^2+⋯+x^{m}$$

$$(x^1+⋯+x^6 )=x(1+x+⋯+x^5 ) = \frac {x(1-x^6 )} {1-x} = \frac {x-x^7} {1-x}$$

$$(x^1+⋯+x^6 )^{10} =\left(\dfrac {x-x^7} {1-x}\right)^{10}$$

¿Pero qué hago a partir de aquí? ¿Alguna pista?

Gracias

Answer 1

Desde $(x+x^2+\cdots+x^6)^{10}=x^{10}(1+x+\cdots+x^5)^{10}$ y $1+x+\cdots+x^5=\frac{1-x^6}{1-x},$ necesitamos encontrar el coeficiente de $x^{10}$ en $(\frac{1-x^6}{1-x})^{10}=(1-x^6)^{10}(1-x)^{-10}.$ Desde $(1-x^6)^{10}(1-x)^{-10} = (1-10x^6+45x^{12}+\cdots) \sum_{m=0}^{\infty}\binom{m+9}{9}x^{m},$ el coeficiente de $x^{10}$ será $\binom{19}{9}-10\binom{13}{9}. $

Answer 2

El coeficiente de $x^{10}$ en $(1+ x + \ldots + x^5)^{10}$ es igual al número de enteros $0 \leq x_i \leq 5 $ tal que $\sum_{i=1}^{10} x_i= 10$ .

Aplicamos el Principio de Inclusión y exclusión, para tratar la restricción de $x_i \leq 5$ .

Si la única restricción es $0 \leq x_i$ entonces hay ${10 + 9 \choose 9 } $ soluciones por el método de las barras y las estrellas (la suma de 10 enteros no negativos es 10).

Si $x_1 \geq 6$ , entonces sustituimos $x_1 = 6 + x_1 ^*$ y hay ${4 + 9 \choose 9}$ soluciones por el método de las estrellas y las barras (la suma de 10 enteros no negativos es 4).

Obsérvese que no podemos tener 2 términos que sean más que $6$ .

Por lo tanto, por PIE, el coeficiente es ${ 19 \choose 9} - 10 { 13 \choose 9}$ que es 85228 .

Answer 3

Se puede calcular $x^{10}$ para que su objetivo sea encontrar el $x^{10}$ coeficiente en $(1 + x + .. + x^5)^{10}$ . Por el Teorema del multinomio uno tiene $$(1 + x + .. + x^5)^{10} = \sum_{k_1 + ... + k_6 = 10} \frac{10!}{k_1!k_2!k_3!k_4! k_5!k_6} x^{k_2 + 2k_3 + 3k_4 + 4k_5 + 5k_6}$$ Aquí la suma es sobre enteros no negativos. Así que lo que hay que hacer es encontrar todos los $(k_1,...,k_6)$ tal que $k_2 + 2k_3 + 3k_4 + 4k_5 + 5k_6 = 10$ o, en su defecto, todos los $(k_2,...,k_6)$ tal que tal que $k_2 + 2k_3 + 3k_4 + 4k_5 + 5k_6 \leq 10$ y luego se suman los coeficientes correspondientes.

Answer 4

De hecho, necesitamos encontrar el coeficiente de $x^{10}$ en $(1+x+x^2+\cdots+x^5)^{10}$ .

Una forma/truco fácil de compruebe este coeficiente $-$ para establecer $$x=10^m, $$ donde $m$ es bastante grande. A continuación, para calcular la expresión dada (utilizando Mathematica o algo más).

Por ejemplo: $x=1\,\,000\,000$ , $$ \begin{array}{l} (x^5+x^4+\cdots+x+1)^{10} = 1\;\; 000\,001\;\; 000\,001\;\; 000\,001\;\; 000\,001\;\; 000\,001^{10} = \\ \ldots \;\;\ldots \;\;\ldots \;\ldots \;\;243\,925\;\;147\,940\;\;\color{red}{085\,228}\;\; \\ 046\,420\;\;023\,760\;\;011\,340\;\;004\,995\;\;002\,002 \\ 000\,715\;\;000\,220\;\;000\,055\;\;000\,010\;\;000\,001. \end{array} $$

Para $x=1\;\;0000\,0000$ , $$ \begin{array}{l} (x^5+x^4+\cdots+x+1)^{10} = 1\;\; 0000\,0001\;\; 0000\,0001\;\; 0000\,0001\;\; 0000\,0001\;\; 0000\,0001^{10} = \\ \ldots \;\;\ldots \;\;\ldots \;\;\ldots \;\ldots \;\;\; 0024\,3925\;\;0014\,7940\;\;\color{red}{0008\,5228} \\ 0004\,6420\;\;0002\,3760\;\;0001\,1340\;\;0000\,4995\;\;0000\,2002\\ 0000\,0715\;\;0000\,0220\;\;0000\,0055\;\;0000\,0010\;\;0000\,0001. \end{array} $$

Answer 5

Me costó 20 segundos entenderlo: 85228

Aquí está el código python:

    from sympy.abc import x
    from sympy import expand
    from math import factorial
    d1 = expand((x+x**2+x**3+x**4+x**5+x**6)**10).as_coefficients_dict()
    print d1[x**20]