Fracción parcial de $\frac{x^n}{(1-x)(1-2x)(1-3x)\ldots(1-nx)}$

Question

¿Cómo deberías descomponer $\displaystyle \frac{x^n}{(1-x)(1-2x)(1-3x)\ldots(1-nx)}$ en fracciones parciales?

Answer 1

Primero tienes que sacar un múltiplo del denominador para hacer que el grado del numerador sea menor que el del denominador:

$$\frac{x^n}{(1-x)(1-2x)(1-3x)\ldots(1-nx)}$$

$$= \frac{(-1)^n}{n!} + \frac{x^n-\frac{(-1)^n}{n!}(1-x)(1-2x)(1-3x)\ldots(1-nx)}{(1-x)(1-2x)(1-3x)\ldots(1-nx)}\;.$$

Ahora puedes ocuparte de la fracción restante. Ya tienes el denominador en forma factorizada, por lo que sabes que la expansión en fracciones parciales tendrá la forma

$$\frac{a_1}{1-x}+\frac{a_2}{1-2x}+\frac{a_3}{1-3x}+\ldots+\frac{a_n}{1-nx}\;.$$

Para obtener los coeficientes $a_i$, puedes usar el hecho de que los residuos de los polos deben ser iguales a los residuos correspondientes en la fracción.

Answer 2

Para ampliar el comentario de joriki, afirmo que

$$\lim_{x \to \frac{1}{k}} \frac{x^n (1 - kx)}{(1 - x)...(1 - nx)} = a_k.$$

No es difícil verlo multiplicando ambos lados por $1 - kx$. Por otro lado, este límite es bastante fácil de calcular ya que se cancela $1 - kx$, obteniendo

$$a_k = \frac{1}{k(k-1)...(k-n)} = \frac{(-1)^{n-k}}{k! (n-k)!}.$$

Observa que esta técnica funciona para darte la descomposición en fracciones parciales de cualquier función racional, al menos cuando el denominador tiene raíces simples: en lugar de cancelar un factor, puedes usar la regla de l'Hopital.

También nota que la función que estás viendo resulta ser la función generatriz ordinaria de los números de Stirling de segunda clase, y aquí puedes hacer trampa porque también puedes encontrar su función generatriz exponencial.

Answer 3

Vale la pena enfatizar que ambas soluciones presentadas básicamente emplean lo que se conoce como método de cobertura de Heaviside. Como expliqué en esta respuesta, este método funciona en general, es decir, incluso para denominadores no lineales. Como debería ser evidente por la presentación que di allí, la solución puede ser construida por medio de un algoritmo determinístico puramente algebraico, es decir, sin emplear ninguna técnica analítica (cálculo de residuos, límites, regla de L'Hopital, etc.). Además, esto es frecuentemente la forma más eficiente de proceder, incluso para cálculos manuales.