Los autovalores de una matriz de $1$'s

Question

Estoy tratando de calcular el polinomio característico de la matriz $n\times n$, $A=\{a_{ij}=1\}$.

Al $n=2$, obtuve $p(\lambda)=\lambda^2-2\lambda$ .

En el caso $n=3$, $p(\lambda)=-\lambda^3+3\lambda^2$.

Para $n=4$, $p(\lambda)=\lambda^4 - 4\lambda^3$.

Supongo que para el caso general, tenemos $p(\lambda)=(-1)^n\lambda^{n}+(-1)^{n-1}n\lambda^{n-1}$.

He intentado utilizar la inducción, pero no funcionó, a menos que he hecho mal

Alguien me puede ayudar o darme una pista

Answer 1

La traza es $n$. El autovalor $0$ tiene multiplicidad $n-1$. A partir de esto podemos escribir el polinomio característico sin ningún tipo de cálculo. O bien puede recoger el autovalor de a $n$ señalando que todas las $1$'s el vector de tiempos de nuestra matriz es la $n$'s de vectores.

Answer 2

Sugerencia: Denotar $v=(1,1,...,1)$ $v_j=(1,0,..,0,-1,0,...,0)$ (todos los ceros excepto la primera, donde no es $1$ e las $j$th, donde no es $-1$) (todos los vectores columna). ¿Qué sucede cuando usted multiplica $A\cdot v$$A\cdot v_j$?