Relación entre Borel–Cantelli lemas y prueba de Kolmogorov cero de una ley

Question

Me preguntaba cuál es la relación entre la primera y la segunda Borel–Cantelli los lemas y la prueba de Kolmogorov cero de una ley?

El primero es acerca de limsup de una secuencia de eventos, mientras que el segundo es acerca de la cola de eventos de una secuencia de independiente sub sigma álgebra de operadores o de variables aleatorias independientes. Ambos tienen resultados para limsup/de la cola de eventos ya sea a la probabilidad de 0 o 1. Supongo que hay relaciones entre pero no puede identificar.

Puede el ex verse como un caso especial de esto último? Cómo se acerca en dirección contraria?

Gracias y saludos!

Answer 1

La primera Borel-Cantelli es simplemente el hecho de que la probabilidad de la unión es en la mayoría de la suma de las probabilidades; no tiene nada en común con la prueba de Kolmogorov-cero uno de la ley.

Lo del test de Kolmogorov-cero uno de la ley dice que en el marco de la segunda Borel-Cantelli lema es que la probabilidad de que el limsup es $0$ o $1$, debido a que (1) la limsup siempre está en la cola $\sigma$-álgebra, (2) usted está considerando independiente de eventos, de ahí su cola $\sigma$-álgebra es trivial. A continuación, la segunda Borel-Cantelli lema sí mismo le dice que esta probabilidad es, en realidad, $1$ bajo el no summability condición de que usted sabe.