$a$ trascendental $\implies a^a$ es trascendental?

Question

Supongamos $a\in \mathbb{C}$ no es un número algebraico. A continuación, se $a^{a}$ también trascendental número ?

No tengo idea acerca de cómo hacerlo. Tengo la motivación para hacer esta pregunta a partir del hecho de que $e^{i\pi}$ es racional, mientras que $e,i\pi$ ambos son trascendentales.

Answer 1

Vamos que tome $x=\exp\left(W(\log 2)\right)$, es decir, una solución de $x^x=2$.

Paso 1. $x\not\in\mathbb{Q}$.
Asumiendo $x=\frac{p}{q}$$\gcd(p,q)=1$,$p^p=2^q\cdot q^p$, absurdo.

Paso 2. $x$ no es un número algebraico.
Suponiendo que $x$ es algebraica de números, el Gelfond-Schneider teorema da ese $2$ es un trascendental número. No es, así:

$\color{red}{\text{your claim does not hold.}}$