¿Qué es? $\pi_i(GL(n))$ ?

Question

Por alguna razón, no puedo encontrar una referencia para $\pi_i GL(n,\mathbb C)$ ni puedo imaginar lo que son. Para la mayoría de los grupos de Lie, se puede obtener una buena fibración y utilizar la larga secuencia exacta en homotopía para calcular inductivamente los grupos de homotopía (por ejemplo, la fibración $SO(n-1) \to SO(n) \to S^{n-1}$ ). Sin embargo, no se me ocurre una fibración agradable; $GL(n)$ actúa transitoriamente sobre $\mathbb C^n$ pero no conozco una buena descripción para el subgrupo estabilizador.

Esto está motivado por la comprensión de la afirmación de que $GL(n)/GL(k)$ es $k-1$ conectados (para los casos reales y complejos), así que si hay una explicación fácil para eso sin apelar a $\pi_1 GL(n)$ También se agradecería.

Answer 1

Hay un fibrado

$$GL(n, \mathbb C) \to GL(n+1, \mathbb C) \to \mathbb C^{n+1} \setminus \{0\}$$

Por Gram-Schmidt, esta fibración es homotopía de fibra equivalente a

$$U_n \to U_{n+1} \to S^{2n+1}$$

dado al recordar sólo el 1er vector de la matriz, al igual que en su $SO(n)$ ejemplo.

Se conocen los grupos homotópicos estables de los grupos unitarios. Busca en Google "Bott Periodicity". Los grupos inestables para $U_n$ , al igual que para $SO_n$ sólo se conocen en un rango.

Creo que estas fibraciones se discuten en el libro de Bredon, así como en el de May, entre otros. Este es el ejemplo 4.55 de la sección 4.2 del libro de Hatcher.