En representación de $\prod_{k=2}^{\infty}\left(1+\frac{1}{k^{2}-1}\right)$ como una de Euler del producto.

Question

La fórmula anterior se corresponde con la siguiente identidad

$$ 2=\prod_{k=2}^{\infty}\left(1+\frac{1}{k^{2}-1}\right) $$

Me pregunto si esto puede ser representada como una de Euler del producto.

Alguien podría encontrar este tipo de representación?

Gracias.

Answer 1

Usted puede expandir su producto como $$ \begin{align} \prod_{k\ge 2} \left(\frac{1}{1-k^{-2}}\right) &= \prod_{k\ge 2}\left(1+k^{-2}+k^{-4}+k^{-6}+\cdots\right) \\ & = 1 + \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{2}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{2}{6^2}+\cdots \\ & = \sum_{n=1}^\infty \frac{a(n)}{n^2} \end{align} $$

Aquí $a(n)$ es el número de desordenada formas de factor de $n$, por ejemplo, $12^{-2}$ aparecerá como $2^{-4}3^{-2},2^{-2}6^{-2},3^{-2}4^{-2}$$12^{-2}$, lo $a(12)=4$.

Esta $a(n)$ no es multiplicativa, por lo que esta expansión no produce un producto de Euler en el sentido de Wikipedia.

Por supuesto, hay productos a través de los números primos que la igualdad de $2$, por ejemplo, $\prod_p (1+\delta_{2,p})$ donde $\delta$ es la delta de Kronecker, pero no creo que eso es lo que quería decir.