Necesita ayuda con una desigualdad

Question

$1<\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+...+\frac{1}{3001}<1\frac{1}{3}$
La primera parte es trivial con $AM-HM $ la desigualdad. Teniendo problema con la segunda parte.

Answer 1

Para $0 \leqslant k \leqslant 1000$

$$\frac{1}{2001-k} + \frac{1}{2001+k} = \frac{4002}{2001^2 - k^2} \leqslant \frac{4002}{2001^2 - 1000^2} = \frac{4002}{1001 \cdot 3001} < \frac{1}{1000 \frac{1}{2}} \cdot \frac{4}{3}.$$

La suma de las desigualdades por $k = 1, 2, \ldots, 1000$ y la desigualdad dividido por $2$$k = 0$, obtenemos

$$\frac{1}{1001} + \frac{1}{1002} + \ldots + \frac{1}{3001} < \frac{1000 \frac{1}{2}}{1000 \frac{1}{2}} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$$

Answer 2

$\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002}+...+\frac{1}{3001}<\int_{1000}^{3001}\frac{1}{x}=\ln(\frac{3001}{1000})\approx 1.1$

Answer 3

Uno puede agregar para arriba. Para hacer esto en la cabeza, olvidar temporalmente sobre el último término. A continuación, tenga en cuenta que el primer trimestre del resto de suma menos de $1/2$, el próximo trimestre se han suma menos de $1/3$, y así sucesivamente, para un total de menos de $77/60$. Añadir el último término no cambiar las cosas de manera apreciable.