Para lo cual $n$ es $n\sigma(n)\equiv 2 \pmod {\phi(n)}$ ?

Question

Cómo encontrar todos los $n \in \Bbb N$ tal que: $$n\sigma(n)\equiv 2 \pmod {\phi(n)}$$

$\sigma(n)$ es la suma de todos los divisores distintos de $n$

Para $p$ primo que tenemos: $p(p+1)=p^2+p\equiv 2 \pmod {p-1}$ pero cómo demostrar para el número compuesto : $4,6,22$ es la única solución.

Answer 1

Tenga en cuenta que $d \mid \phi(n)$ implica que $n\sigma(n) \equiv 2 \pmod{d}$ .

Si $p^2 \mid n$ para algún primo impar $p$ entonces $p \mid \phi(n)$ . Así, $0 \equiv n\sigma(n) \equiv 2 \pmod{p}$ una contradicción. Por lo tanto, $p^2 \nmid n$ para cualquier primo impar $p$ .

Si $8 \mid n$ entonces $4 \mid \phi(n)$ . Así, $0 \equiv n\sigma(n) \equiv 2 \pmod{4}$ una contradicción. Por lo tanto, $8 \nmid n$ .

Si $4 \|n$ , a continuación, escriba $n=4m$ , donde $m$ es impar. Si $m>1$ entonces $2 \mid \phi(m)$ así que $4 \mid 2\phi(m)=\phi(n)$ . Así, $0 \equiv n\sigma(n) \equiv 2 \pmod{4}$ una contradicción. Por lo tanto $m=1$ Así que $n=4$ , que es una solución.

De lo contrario, $n$ es libre de cuadrados.

Si $pq \mid n$ para distintos primos Impares $p, q$ , a continuación, escriba $n=pqm, \gcd(m, pq)=1$ . Entonces $\sigma(n)=\sigma(pq)\sigma(m)=(p+1)(q+1)m$ y $\phi(n)=\phi(n)=\phi(pq)\phi(m)=(p-1)(q-1)\phi(m)$ . Así, $4 \mid \sigma(n), \phi(n)$ Así que $0 \equiv n\sigma(n) \equiv 2 \pmod{4}$ una contradicción.

Por lo tanto, tenemos $n=1, 2, p$ ou $2p$ , donde $p$ es un primo impar. Si $n=1, 2$ entonces $\phi(n)=1$ por lo que trivialmente tenemos $n\sigma(n) \equiv 2 \pmod{1}$ . Si $n=p$ entonces $\phi(p)=p-1, \sigma(p)=p+1$ Así que $p\sigma(p)=p(p+1) \equiv 2 \pmod{p-1}$ . Por lo tanto, $n=1, 2, p$ son soluciones.

Supongamos que $n=2p$ . Entonces $\phi(n)=p-1$ y $\sigma(n)=1+2+p+2p=3(p+1)$ . Entonces tenemos $2 \equiv 2p\sigma(p)=6p(p+1) \equiv 12 \pmod{p-1}$ Así que $(p-1) \mid 10$ . Desde $p$ es un primo impar, obtenemos $p=3, 11$ . Esto da $n=6, 22$ que sí son soluciones.

Por lo tanto, todas las soluciones vienen dadas por $n=1, 4, 6, 22$ y $n=p$ , $p$ de primera.

Answer 2

Es cierto si $n$ es primo. Para los compuestos, véase http://oeis.org/A002270 y referencias allí.