He visto a menudo "la segunda derivada de y con respecto a x" se escribe como $${d^2y\over dx^2},$$ but I don't understand the reason for this notation. I have always seen it written as $${d^2y\over dx^2},$$ and never as $${d^2y\over dx}.$$ Would $d^2y\más de dx$ be a valid notation as well, and would it have a different meaning from $d^2y\más de dx^2$?
Respuestas
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La notación que hemos visto a menudo para la derivada segunda es la notación de Leibniz utiliza:
$$\dfrac {d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx}\left(\frac {dy}{dx}\right) \tag{1}$$
Respecto a la segunda pregunta, no, $\dfrac{d^2y}{dx} = d\left(\dfrac {dy}{dx}\right)$ no es válido, y es bastante sin sentido.
Fly by Night
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La derivada de $y$ con respecto al $x$ puede ser escrito como $$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x} \, y $$ Generalmente, las $y$ en el numerador a shortern de la notación. Así que, ¿cuál es la segunda derivada, bien - es la derivada de la derivada:
$$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x} \left( \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x} \, y \right) = \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x} \, \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x} \, y = \frac{\operatorname{d^2}}{\operatorname{d}\!x^2} y $$
De nuevo, se nos suele presentar la $y$ en el numerador.
Yo nunca he visto la notación $\tfrac{\operatorname{d}^2\!y}{\operatorname{d}\!x}$ en mi vida. Yo diría que no tiene sentido. Es tentador tratar de obtener algún significado para ti por pensar en él como el exterior derivado $\operatorname{d}\tfrac{\operatorname{d}\!y}{\operatorname{d}\!x}$, pero que parece ser la mezcla de dos diferentes tipos de notación, y es mejor ser evitado.
Drealmer
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Como en las otras respuestas, la principal respuesta a la pregunta es que probablemente algo está mal... desde los básicos de la notación de Leibniz nunca iba a escribir ${d^2y \over dx}$.
El único sentido posible sería un "infinitesimal" cambio en el derivado ${dy\over dx}$, en Leibniz la notación de hecho,$d{dy \over dx}$, aunque he visto esto sólo muy rara vez, y rara vez para ser útil.
Sin embargo, hay algunas manipulaciones para resolver ecuaciones diferenciales que hacer exactamente hacer uso de ideas similares. Por ejemplo, en una dimensión, Newton'e ley del cuadrado inverso ${d^2y\over dx^2}={-1\over y^2}$ puede ser reescrito (útil!) como $$ {-1\y^2} = {d^2 y\más de dx^2} = {d\más de dx}{dy\más de dx} = {d(y')\más de dx} = {dy'\más dy}{dy\más de dx} = {dy'\más dy}\,y' $$ A continuación, ${-dy\over y^2}=y'\,dy'$ da ${1\over y}={1\over 2}(y')^2$, y así sucesivamente. :)
