Un problemas de convergencia en espacios de Banach relacionados con ergodic theory

Question

Supongamos $X$ es un espacio de Banach, $T\in B(X)$, satisface la siguiente condición.

• $\sup \Big\lVert\frac{1}{n}\sum \limits_{i=0}^{n-1}T^{i}\Big\rVert<\infty$
• $\frac{1}{n}\lVert T\rVert^{n}\rightarrow0$ $n \rightarrow\infty$

Para $x \in X$, tome $x_{n}=\frac{1}{n} \sum\limits_{i=0}^{n-1}T^{i}x$. Si hay un subquence $\{x_{n_{k}}\}$ que tiene una débil límite de $x^{*}$(en la topología débil), demuestran que, a $x_{n} $ es convergente a $ x^{*}$, en la norma de la topología, y $Tx^{*}=x^{*}$

Esto puede verse como una generalización de la de von Neumann Ergodic Teorema de los espacios de Banach.

Cualquier consejo y de los debates que será apreciado.

Answer 1

Para mí es un poco más fácil trabajar con el Cesàro promedio de los operadores de $$ S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} T^i $$ que con las secuencias de $x_n$. Desde $S_nx = x_n$, la traducción es sencilla.

Observar que $(1-T)S_n = S_n(1-T) = \frac{1}{n}(1-T^{n})$.

Supongo que la condición en la segunda viñeta $\frac{1}{n} \lVert T\rVert^n \to 0$ (lo que equivale a $\Vert T\rVert \leq 1$) es una errata de la débil condición de $\frac{1}{n} \lVert T^n\rVert \to 0$ diciendo que $\lVert T^n\rVert$ crece más lento que en forma lineal. Tenemos $$\tag{$\ast$} \lVert S_n(1-T)\rVert = \lVert(1-T)S_n\rVert \leq \frac{1}{n}(1+\lVert T^n\rVert) \xrightarrow{n\to\infty} 0. $$ También haremos uso de la identidad $$ \etiqueta{${\ast\ast}$} 1-S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} (1-T^i) = (1-T) \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} i \cdot S_i. $$

---

Ahora estamos listos para la prueba. Suponga que $x \in X$ y $n_{k}$ es un aumento de la secuencia tal que $S_{n_k} x \to x^\ast$ débilmente. Queremos mostrar que $$ \lVert x^\ast - S_nx\rVert \xrightarrow{n\to\infty} 0. $$

1. Desde delimitada operadores son débiles-débiles continua, tenemos $TS_{n_k}x \to Tx^\ast$ débilmente, y en la otra mano para $\varphi \in X^\ast$ hemos $$ \lvert \varphi((1-T)x^\ast)\rvert = \lim_{k\to\infty} \lvert\varphi ((1-T)S_{n_k}x)\rvert\leq \lVert\varphi\rVert\lVert x \rVert\lim_{k\to\infty}\lVert(1-T)S_{n_k}\rVert = 0 $$ donde la primera igualdad se sigue de la debilidad de la convergencia y la última se sigue de $(\ast)$.

   Por lo tanto $\varphi(x^\ast - Tx^\ast) = 0$ todos los $\varphi \in X^\ast$ y desde $X^\ast$ separa los puntos de $X$ llegamos a la conclusión de que $x^\ast = Tx^\ast$. También tenemos $S_{n}x^\ast = x^\ast$.

2. Deje $y = x- x^\ast$ y la nota que $$\tag{$\ast\ast\ast$} S_ny = S_n x - x^\ast, $$ de modo que la debilidad de la convergencia $S_{n_k}x \to x^\ast$ implica la debilidad de la convergencia $S_{n_k}y \to 0$. Con $(\ast\ast)$ tenemos $$ y - S_{n_k}y = (1-T)\sum_{i=0}^{n_k-1}i\cdot S_iy, $$ por lo $y = x-x^\ast$ está en la debilidad de cierre de la gama de $(1-T)$.

3. Para conjuntos convexos los débiles de cierre y la norma de clausura coinciden, por lo $y = x- x^\ast$ está en la norma de cierre de la gama de $(1-T)$.

   Deje $\varepsilon \gt 0$. No es $z = (1-T)w$ tal que $\lVert y-z\rVert \lt \varepsilon$. De nuevo con $(\ast)$ llegamos a la conclusión de que $\lVert S_n z\rVert \to 0$.

   Por último, la hipótesis de $C = \sup_{n \in \mathbb{N}} \lVert S_n \rVert \lt \infty$ (which we haven't used so far) shows that for $$ n lo suficientemente grande como hemos $$ \lVert S_n y \rVert \leq \lVert S_n(y-z)\rVert + \lVert S_n z\rVert \leq (C+1)\varepsilon. $$ Recordando $(\ast\ast\ast)$ esto da $$ \lVert S_n x - x^\ast\rVert \xrightarrow{n\to\infty} 0, $$ como queríamos.