La prueba más sucinta de la unicidad y existencia de la conexión Levi-Civita.

Question

Dado que demostrar la existencia y/o la unicidad de la conexión Levi-Civita parece aparecer en todos los exámenes de Geometría y Relatividad General, ¿cuál es la prueba más sucinta para memorizar?

Answer 1

Es sólo cuestión de recordar el orden de las cosas. La forma más práctica de demostrar la existencia de la conexión Levi-Civita en una variedad riemanniana $(M,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ está utilizando sus propiedades deseables, digamos:

1. Simetría: $\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]$

2. Compatibilidad: $X\langle Y,Z\rangle=\langle\nabla_XY,Z\rangle+\langle Y,\nabla_XZ\rangle$

Construimos la conexión basándonos en el comportamiento sobre los campos: dejemos $X,Y,Z$ sean campos sobre $M$ . Por 2. y 1.,

a) $X\langle Y,Z\rangle=\langle\nabla_XY,Z\rangle+\langle Y,\nabla_XZ\rangle=\langle [X,Y],Z\rangle+\langle \nabla_YX,Z\rangle+\langle Y,\nabla_XZ\rangle$

b) $Y\langle Z,X\rangle=\langle\nabla_YZ,X\rangle+\langle Z,\nabla_YX\rangle$

c) $Z\langle X,Y\rangle=\langle\nabla_ZX,Y\rangle+\langle X,\nabla_ZY\rangle$

Obsérvese que en la primera y segunda ecuaciones anteriores tenemos $\langle \nabla_YX,Z\rangle$ apareciendo dos veces. Calculando "a) $+$ b) $-$ c)" obtenemos, juntando términos similares,

\begin{eqnarray} X\langle Y,Z\rangle+Y\langle Z,X\rangle-Z\langle X,Y\rangle&=&\langle [X,Y],Z\rangle+2\langle \nabla_YX,Z\rangle\\ &+&\langle Y,\nabla_XZ-\nabla_ZX\rangle+\langle\nabla_YZ-\nabla_ZY,X\rangle\\ &=&2\langle\nabla_YX,Z\rangle+\langle [X,Y],Z\rangle+\langle [Y,Z],X\rangle+\langle [X,Z],Y\rangle \end{eqnarray}

(esta ecuación se conoce como Fórmula Koszul ) Aislamiento $\langle\nabla_YX,Z\rangle$ se obtiene una fórmula y por lo tanto se puede definir punto a punto el valor $\nabla_YX$ . Sólo hay que recordar el orden (natural) de las derivaciones en a), b) y c) y "a) $+$ b) $-$ c)". El resto es sencillo.