Suma - relativamente simple?

Question

Tengo una pregunta que podría ser demasiado simple para este sitio, pero de verdad lo intenté muchas ideas sin llegar a una solución. Esta es la asignación de la escuela primaria en la que estoy tratando de ayudar y la solución debe ser relativamente simple, pero de alguna manera no puedo averiguar el enfoque correcto. La asignación es como sigue, es decir, calcular la suma: $$\frac{1}{1+2} + \frac{1}{2+3} + \frac{1}{3+4} + … + \frac{1}{98+99}+\frac{1}{99+100}$$

Answer 1

Creo que no hay una buena forma cerrada para esta suma. Pero si dejamos $H_n$ denotar $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}$, luego

$\frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{2 + 3} + ... + \frac{1}{99 + 100} = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{199} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{200} - 1 - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{200}) = H_{200} - 1 - \frac{1}{2}(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{100}) = H_{200} - \frac{1}{2}H_{100} - 1$

Pero la suma de armónicos no tiene una buena forma cerrada hasta donde yo sabía.