¿Cuál es la cosa con $\sqrt{-1} = i$

Question

¿Cuál es la cosa con $\sqrt{-1} = i$? Lo que realmente enseñan esto en Estados Unidos? Hace muy poco sentido, porque la $-i$ también es una raíz cuadrada de $-1$, y la opción de que la raíz de la etiqueta como $i$ es arbitrario. Así diciendo $\sqrt{-1} = i$ es claramente falsa!

Entonces, ¿por qué la gente dice $\sqrt{-1} = i$? ¿Es así como se enseña en los estados unidos?

Answer 1

$\sqrt{-1}$ es imprecisa la notación. Hay varias maneras de hacer que sea preciso, algunos de los cuales tienen relación con lo que se reduce a una elección arbitraria de la raíz cuadrada de $-1$ y algunos de los que no. Esto es debido a que hay varias maneras de construir $\mathbb{C}$$\mathbb{R}$:

• Como el anillo de $F = \mathbb{R}[x]/(x^2 + 1)$ (edit: después de la discusión en los comentarios, tal vez sería mejor decir "una expresión algebraica cierre de $\mathbb{R}$."). El grupo de Galois $\text{Gal}(F/\mathbb{R})$ orden $2$, y la compleja conjugación $x \mapsto -x$ es su único elemento no trivial. El Galois simetría aquí nos impide distinguir entre el$x$$-x$.

• Como el anillo de $\mathbb{C} = \mathbb{R}[\imath]/(\imath^2 + 1)$, en el que fijar la elección de $\imath$ de generador. Esto es lo que normalmente se entiende por $\mathbb{C}$. Este campo tiene un elemento distinguido $\imath$ satisfacción $\imath^2 = -1$, y esto es lo que suelen decir por $i$. $\mathbb{C}$ es isomorfo a $F$, pero no canónicamente así, desde la $\imath$ pueden ser enviadas a cualquiera de las $x$ o $-x$ y no hay manera de elegir entre estos.

• Como el anillo de $R$ lineal endomorphisms $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ de los no-negativo determinante en la preservación de un producto interior $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Hay dos elementos de $R$ cuadratura a $-1$, que corresponde a una rotación y su inversa, y no hay manera de elegir entre ellos, a menos que $\mathbb{R}^2$ también está equipado con una orientación, que es una identificación de su exterior plaza de la con $\mathbb{R}$. Esta elección de la orientación corresponde a la diferencia entre el primero y el segundo de construcciones anteriores.

Pero la mayoría de la gente no se molestará a parar y hablar acerca de tales sutilezas como $F, \mathbb{C}, R$ no canónicamente isomorfo, por lo que decir $\sqrt{-1} = i$ porque la verdad es que (para fines prácticos) innecesariamente complicado.

Answer 2

La respuesta está muy sucinta en el MathWorld artículo en la Plaza Principal de la Raíz.

Answer 3

Como incluso el capitalista Wikipedia reconoce, hay tres leyes de la dialéctica:

1. La ley de la unidad y el conflicto de los opuestos;
2. La ley de la aprobación de los cambios cuantitativos en cambios cualitativos;
3. La ley de la negación de la negación.

Así, a partir de la ley 1, vemos que i y-i son iguales y opuestas. De la ley 2, nos enteramos de que $\mathbb C$ es cualitativamente diferente de la $\mathbb R$. De la ley 3, alcanzamos el equilibrio dinámico entre la i y -i, que fue tan poderosamente expuesto por el héroe revolucionario Évariste Galois.

Esto al menos es como nos enseñó la materia en la URSS.